S(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + …. Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если x равно 1/2,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1 из главы 1.iv, поскольку (1/2)2 = 1/4, (1/2)3 = 1/8 и т.д. Следовательно, S (1/2) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (?1/2)2 = 1/4, (?1/2)3 = ?1/8 и т.д., а следовательно, S (?1/2) = 2/3 согласно выражению 1.2 из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3 говорит нам, что S(1/3) = 11/2 выражение 1.4 — что S (?1/3) = 13/4. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.
Однако если x равен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При x равном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда x равен ?1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x = ?2 еще хуже: сумма 1 ? 2 + 4 ? 8 + 16 ? … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.
Короче говоря, функция S(x) имеет значения, только когда x лежит в границах между ?1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x) для аргументов x между ?1 и 1.
| x | S(x) |
| ?1 или меньше | (нет значений) |
| ?0,5 | 0,6666… |
| ?0,333… | 0,75 |
| 0 | 1 |
| 0,333… | 1,5 |
| 0,5 | 2 |
| 1 или больше | (нет значений) |
Таблица 9.1. Значения функции S(x) = 1 + x + x2 + x3 + ….
Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от ?1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определения этой функции заключена строго между ?1 и 1.
Рисунок 9.1. Функция S(x) = 1 + x + x2 + x3 + ….
III. Но смотрите, нашу сумму
S(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + … можно переписать в таком виде:
S(x) = 1 + x(1 + x +
