Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = ?49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.
Рисунок 9.5.
Рисунок 9.6.
Рисунок 9.7.
Рисунок 9.8.
Рисунок 9.9.
Рисунок 9.10.
V. Ho как я получил все эти значения ?(s) для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ?(?7,5), как бы я к этому подступился?
Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это ?-функция; ? (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим ?-функцию как
Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда s больше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда s больше единицы.
Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A ? B + C ? D + E ? F + G ? H + … равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …) минус 2?(B + D + F + H + …) . Поэтому функцию ?(s) можно переписать как
минус
Первая скобка — это, конечно, ?(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab)n = anbn. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида 
, после чего можно вынести 
в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется ?(s) ! Коротко говоря,
или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем
Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение ?(s), то мы немедленно будем знать и значение ?(s). А поскольку можно узнать значения ?(s) между 0 и 1, можно получить и значение ?(s) в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ?(s) там не сходится.
Пусть, например, s равно 1/2. Если сложить 100 членов ряда для ?(1/2), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ?(1/2) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ? (1/2) оно оказывается равным ?1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.
Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s = 1/2, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ?(s).
VI. За исключением одного только s = 1, где ?(s) не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ? (1 ? s) через ?(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ?(?15), то надо просто вычислить значение ?(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин:[75]
