Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 ? ¹/₂ ? ¹/₄ + ¹/₃ ? ¹/₆ ? ¹/₈ + ¹/₅ ? ¹/₁₀ ? …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 ? ¹/₂) ? ¹/₄ + (¹/₃ ? ¹/₆) ? ¹/₈ + (¹/₅ ? ¹/₁₀) ? …, т.е. ¹/₂(1 ? ¹/₂ + ¹/₃ ? ¹/₄ + ¹/₅ ? …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Глава 10. Доказательство и поворотная точка

I.

Работа 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» была единственной публикацией Бернхарда Римана по теории чисел, а также единственной из всех написанных им работ, которая вовсе не содержала никаких геометрических идей.

Эта блестящая и основополагающая статья была, однако, неудовлетворительна в некоторых отношениях. Прежде всего, имелась сама великая Гипотеза, которую Риман оставил висеть в воздухе (где она пребывает и поныне). Его собственные слова после формулировки утверждения, эквивалентного Гипотезе, были такими:

Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток (einigen fluchtigen vergeblichen Versuchen) я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.

Вполне разумно. Поскольку Гипотеза не имела решающего значения для развиваемых им идей, Риман оставил ее без доказательства. Но это был наименьший из недостатков той статьи. Некоторые другие вещи в ней утверждаются, но их тщательного доказательства не приводится — причем это относится и к основному результату работы! (Сам этот результат мы рассмотрим в одной из последующих глав.)

Бернхард Риман являл собой весьма чистый случай интуитивного математика. Это требует пояснений. Личность математика состоит из двух главных компонент: логической и интуитивной. Обе присутствуют в каждом хорошем математике, но при этом или одна, или другая значительно преобладает. Типичным примером исключительно логического математика является немецкий аналитик Карл Вейерштрасс (1815-1897), создавший свои великие работы в третьей четверти XIX века. Чтение работ Вейерштрасса подобно наблюдению за скалолазом. Каждый шаг, прежде чем будет предпринят последующий, твердо закрепляется доказательством. Пуанкаре говорил, что ни одна из вейерштрассовых книг не содержит ни одного рисунка. На этот счет на самом деле имеется одно исключение, но так или иначе логически выверенное построение работ Вейерштрасса весьма характерно именно для логического математика: каждый тщательно обоснован перед тем, как осуществляется переход к следующему, и при этом не делается никаких воззваний к геометрической интуиции.

Риман воплощал в себе полную противоположность. Если Вейерштрасс — это скалолаз, методично отвоевывающий у утеса каждый дюйм, то Риман — скорее акробат на трапеции, бесстрашно взлетающий в воздух в уверенности (которая зрителю может показаться опасным самообманом), что, когда он достигнет точки своего назначения где-то посреди неба, там будет за что ухватиться. Совершенно ясно, что Риман обладал прекрасно развитым зрительным воображением, а также и то, что его мозг совершал прыжки к результатам настолько мощным, элегантным и плодотворным, что он не мог заставить себя остановиться для доказательства. Он живо интересовался философией и физикой, и набор концепций, накопленных им в результате длительного знакомства с этими двумя дисциплинами, — поток ощущений через наши органы чувств, организация этих ощущений в формы и понятия, поток электричества через проводник, движения жидкостей и газов — просматривается за фасадом его математики.

Поэтому работу 1859 года почитают не за ее логическую чистоту и уж заведомо не за ее ясность, а за одну лишь оригинальность примененного Риманом метода и за величайший размах и мощь его результатов, которые уже обеспечили и продолжают обеспечивать его коллег-математиков материалом на десятилетия работы.

О том, что последовало за статьей 1859 года, пишет в своей книге о дзета-функции[78] Хэролд Эдвардс:

В течение первых 30 лет после опубликования статьи Римана в этой области не наблюдалось практически никакого прогресса. Это выглядело так, как будто именно столько времени потребовалось математическому миру для переваривания римановых идей. Затем в течение промежутка примерно в 10 лет Адамар, фон Мангольдт и де ля Валле Пуссен добились успехов в доказательстве как основной формулы Римана для ?(x), так и теоремы о распределении простых чисел, а также ряда других родственных теорем. Во всех этих доказательствах идеи Римана сыграли ключевую роль.

II.

Работа Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» имела прямое отношение к попыткам доказать Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Если бы выяснилось, что Гипотеза Римана верна, то ТРПЧ была бы получена в качестве следствия. Однако Гипотеза представляет собой намного более сильный результат, чем ТРПЧ, и последнюю можно было бы доказать, исходя и из более слабых предпосылок. Основное значение работы Римана для доказательства ТРПЧ состояло в том, что она предоставила средства — результаты, позволяющие глубоко проникнуть в суть аналитической теории чисел, — с помощью которых и была проложена дорога к доказательству.

Это доказательство появилось в 1896 году. Период, прошедший между выходом работы Римана и доказательством ТРПЧ, был отмечен следующими вехами.

• Вырос объем практических знаний о простых числах. Были опубликованы более длинные таблицы простых чисел, среди которых выделяются таблицы Кулика, представленные Венской академии наук в 1867 году, — там были приведены делители всех чисел до 100 330 200. Эрнст Майсель разработал хитрый способ вычисления ?(x) — функции, которая считает количество простых чисел. В 1871 году он нашел правильное значение для ?(100 000 000). В 1885 году он вычислил значение ?(1000 000 000), которое оказалось на 56 меньше правильного результата (хотя это и обнаружили лишь 70 лет спустя).

• В 1874 году Франц Мертенс добился скромного результата, касающегося чисел обратных к простым, используя методы, которые заимствовали кое-что как у Римана, так и у Чебышева. Ряд ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₁₁ + ¹/₁₃ + … +