Всюду здесь ? — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1?2, 3! = 1?2?3, 4! = 1?2?3?4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, (1/2)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из ?), (?1/4)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от ?4 до 4.
Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.
Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ?(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ? (1 ? s) через ?(s); если вы знаете, как посчитать ?(16), то вы можете тогда вычислить ?(?15); если вам известна ?(4), то вы можете вычислить ?(?3); если вам известна ?(1,2), то вы можете выделить ?(?0,2); если вам известна ?(0,6), то вы можете вычислить ?(0,4); если вам известна ?(0,50001), то вы можете вычислить ? (0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ?(1 ? s) и ? (s), потому что если s = 1/2, то 1 ? s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/2 связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.
Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ?(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:
?2, ?4, ?6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.
А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.
VII. В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:
1/(1 ? x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + … Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/ (1 ? x) равен ?ln(1 ? x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:
?ln(1 ? x) = x + x2/2 + x3/3 + x4/4 + x5/5 + x6/6 + …. Будет чуть удобнее, если обе части умножить на ?1:
ln(1 ? x) = ?x ? x2/2 ? x3/3 ? x4/4 ? x5/5 ? x6/6 ? … (9.3) Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = ?1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = ?1 выражение (9.3) дает следующий результат:
ln 2 = 1 ? 1/2 + 1/3 ? 1/4 + 1/5 ? 1/6 + 1/7 ? … (9.4) Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.
Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что
