исследованиях.
Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами
Рисунок 16.1. Высоты
А как обстоит дело с табулированием точных положений нулей? Оказывается, помимо того, что делалось в связи с проверкой Гипотезы Римана, в этой задаче сделано на удивление мало. Насколько мне вообще известно, первые сколько-нибудь длинные таблицы такого рода были опубликованы Брайаном Хейзелгровом. В 1960 году, работая на мощных компьютерах второго поколения в университетах Кембриджа и Манчестера в Англии, Хейзелгров с сотрудниками затабулировали первые 1600 нулей с точностью до шести знаков после запятой и опубликовали эту таблицу. Эндрю Одлыжко сообщил мне, что, когда он в конце 1970-х годов начинал исследования нулей дзета-функции, таблицы Хейзелгрова были единственными известными ему данными такого рода, хотя он и думает, что Леман в ходе своей работы в 1966 году мог в действительности с высокой точностью вычислить большее количество нулей. У самого Эндрю есть таблица (на диске компьютера, а не в печатном варианте) первых двух миллионов нулей с точностью до девяти знаков после запятой. На момент написания этой книги это наибольшая из известных таблиц нулей.
Вся описанная выше деятельность относится к первым
За таблицей 16.1 скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках.[150]
Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.
Работа Тьюринга по созданию «дзета-функциональной машины» резко прервалась в 1939 году, когда разразилась Вторая мировая война. Он перешел работать в Британскую школу кодов и шифров[151] в Блетчли-Парк и провел там все годы войны, посвятив себя раскрытию немецких военных шифров. Однако некоторые из зубчатых колес сохранились — они остались среди его вещей после смерти ученого, последовавшей (как считается, в результате самоубийства) 7 июня 1954 года.
При том, насколько печальной и необычной была смерть Тьюринга (он съел яблоко, в которое сам ввел цианистый калий), он снискал себе посмертную славу стараниями биографов. Эндрю Ходжес написал о нем замечательную книгу («Алан Тьюринг: Энигма», 1983), а Хью Уайтмор сделал по ней чрезвычайно интересную пьесу («Разгадка шифра», 1986).
У меня нет возможности вдаваться глубже в подробности жизни Тьюринга. Я отсылаю читателя к биографии, написанной Ходжесом, из которой процитирую только следующее:
15 марта [1952 года] он направил для публикации работу по вычислению дзета-функции, несмотря на то что предпринятая ранее практическая попытка такого вычисления на прототипе компьютера в Манчестерском университете оказалась неудовлетворительной. Возможно, он просто хотел закончить с этим делом на тот случай, если ему придется отправиться в тюрьму.
31 марта 1952 года Тьюринг предстал перед судом по 12 обвинениям в «крайне непристойном поведении», поскольку в то время в Британии гомосексуальные акты по взаимному согласию были уголовно наказуемы. В конечном итоге он не попал в тюрьму: его признали виновным, однако дали условный срок с оговоркой, что он согласится на медицинское вмешательство. «В Британии 1952 года не было, — пишет Ходжес, — понятия о праве на сексуальное самовыражение».
Есть и другие истории. Эдвард Титчмарш — ученик Харди (кстати, учеником Харди был и Тьюринг) — получил свои 1041 нулей[152], используя для этого работающие с перфокартами машины, арендованные у Британского адмиралтейства, где с их помощью составляли таблицы приливов. На основании этих результатов Титчмарш написал классический математический текст по дзета-функции.[153]{A7} Разумеется, с появлением электронных компьютеров после Второй мировой войны вся эта «механическая» вычислительная деятельность подошла к своему концу.
Есть еще истории… однако я слишком отклонился от темы.[154] Я собирался рассказать о формуле Римана-Зигеля.
Первые три строки в таблице 16.1 — это вклады Грама, Бэклунда и
