Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2?x имело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.

+	0	1	2	3		?	0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
2	2	3	0	1		2	0	2	0	2
3	3	0	1	2		3	0	3	2	1

Рисунок 17.1. Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK₄.[158] ^{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCK_N.

Но поле F_N можно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа p самого по себе поле F_p выглядит в точности как CLOCK_p — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F₄. Видно, что F₄ отличается от CLOCK₄.

+

0

1

2

3

?

0