Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

соответствует другая координата при­были, и он может не оказаться на эффективной границе».

Заметьте, мы не изменяем значения f. Мы просто сокращаем расчеты, и это выглядит так, как будто значения f изменяются. Мы создаем оптимальные порт­фели, основываясь на ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей при торгов­ле одной единицей каждого компонента, а также на коэффициентах корреля­ции. Таким образом, мы получаем оптимальные веса (оптимальный процент счета для торговли каждым компонентом). Поэтому, если рыночная система имеет оптимальное f = 2000 долларов и ее вес в оптимальном портфеле равен 0,5, мы должны использовать для этой рыночной системы 50% счета при пол­ном оптимальном f= 2000 долларов. Это то же самое, что торговать 100% наше­го счета при оптимальном f, деленном на оптимальный вес, т.е. ($2000 /0,5) = $4000. Другими словами, торговать оптимальным f= 2000 долларов на 50% счета, по сути, то же самое, что и торговать измененным f= 4000 долларов на 100% счета.

AHPR и SD, которые вы вводите в матрицу, определяются из значений опти­мального f в долларах. Если речь идет об акциях, то можно рассчитать значения AHPR, SD и оптимального f на основе одной акции или, например, 100 акций, вы сами определяете размер одной единицы.

В ситуации, когда нет рычага (например, портфель акций без заемных средств), вес и количество одно и то же. Однако в ситуации с рычагом (например, портфель фьючерсных рыночных систем), вес и количество отличаются. Идея, которая была впервые изложена в книге «Формулы управления портфелем», состо­ит в том, что мы пытаемся найти оптимальное количество, и оно является функци­ей оптимальных весов. Когда мы рассчитываем коэффициенты корреляции HPR двух рыночных сис­тем с положительными арифметическими математическими ожиданиями, то чаще всего получаем положительные значения. Это происходит потому, что кривые баланса рыночных систем (совокупная текущая сумма дневных измене­ний баланса) стремятся вверх и вправо. Проблема решается следующим обра­зом: для каждой кривой баланса надо определить линию регрессии методом наименьших квадратов (до приведения к текущим ценам, если оно применяет­ся) и рассчитать разность кривой баланса и ее линии регрессии в каждой точке. Затем следует преобразовать уже лишенную тренда кривую баланса в простые дневные изменения баланса. После этого вы можете привести данные к теку­щим ценам (когда это необходимо). Далее, рассчитайте корреляцию по этим уже обработанным данным. Предложенный метод работает в том случае, если вы используете корреляцию дневных изменений баланса, а не цен. Если вы будете использовать цены, то мо­жете получить искаженную картину, хотя очень часто цены и дневные изменения баланса взаимосвязаны (например, в системе пересечения долгосрочной скользя­щей средней). Метод удаления тренда следует всегда применять аккуратно. Разу­меется, дневное AHPR и стандартное отклонение HPR должны всегда рассчиты­ваться по данным, из которых не удален тренд.

Последняя проблема, которая возникает, когда вы удаляете тренд из данных, ка­сается систем, в которых сделки совершаются достаточно редко. Представьте себе две торговые системы, каждая из которых инициирует одну сделку в неделю, причем в разные дни. Коэффициент корреляции между ними может быть только незначи­тельно положительным. Однако когда мы лишаем данные тренда, то получаем очень высокую положительную корреляцию, поскольку их линии регрессии не­много повышаются каждый день, хотя большую часть времени изменение баланса равно нулю. Поэтому разность будет отрицательной. Преобладание дней с незначи­тельной отрицательной разностью между кривой баланса и линией регрессии в обе­их рыночных системах в результате дает неоправданно высокую положительную корреляцию.

Порог геометрической торговли для портфелей

Теперь обратимся к проблеме нахождения порога геометрической торговли для данной комбинации оптимального портфеля. Проблема легко решается, если разделить порог геометрической торговли для каждого компонента на его вес в оптимальном портфеле так же, как мы делили оптимальные f компонентов на их соответствующие веса для получения нового значения, справедливого для компо­нентов оптимального портфеля. Допустим, порог геометрической торговли для Toxico составляет 5100 долларов. Разделив данное значение на его вес в оптималь­ном портфеле, т.е. на 1,025982, мы получим новый измененный порог геометри­ческой торговли:

Порог =$5100/1,025982= $4970,85

Так как вес для Toxico больше 1, то его оптимальное f и порог геометрической тор­говли уменьшатся, поскольку мы делим их значения на этот вес. Если нельзя тор­говать дробной единицей Toxico, мы перейдем на 2 единицы, когда баланс повы­сится до 4970,85 доллара. Вспомните, что наше новое измененное значение f в оптимальном портфеле для Toxico равно 2436,69 доллара ($2500 / 1,025982). Так как данная сумма, умноженная на два, равна 4873,38 доллара, нам следует перейти на торговлю двумя контрактами в этой точке. Однако порог геометрической торговли, который больше чем в два раза превышает величину f в долларах, говорит о том, что не стоит переходить на торговлю 2 единицами до тех пор, пока баланс не достигнет порога геометрической торговли, равного 4970,85 доллара.

Если вы приводите данные к текущим ценам и получаете приведенное опти­мальное f и его побочные продукты, включая порог геометрической торговли, тогда оптимальное f в долларах и порог геометрической торговли будут меняться ежедневно в зависимости от цены закрытия предыдущего дня на основании урав­ нения (2.11).

Подведение итогов

Отметим важный факт: структура неограниченного портфеля (для которого сум­ма весов больше 1, a NIC является частью портфеля) неизменна для любого уров­ня Е; единственным отличием является величина заемных средств (величина ры­чага). Для портфелей, лежащих на эффективной границе, когда сумма весов огра­ничена, это не так. Другими словами, для любой точки на неограниченных эффективных границах (AHPR или GHPR) отношения весов различных рыноч­ных систем всегда одинаковы.

Например, можно рассчитать отношения весов между различными рыночными системами в геометрическом оптимальном портфеле. Отношение Toxico к Incubeast составляет: 102,5982% / 49,00558% = 2,0936. Таким же образом мы можем опре­делить отношения всех компонентов в портфеле друг к другу:

Toxico / Incubeast = 2,0936

Toxico / LA Garb = 2,5490

Incubeast / LA Garb = 1,2175

Теперь вернемся к неограниченному портфелю и найдем веса для различных зна­чений Е. Далее следуют веса компонентов неограниченных портфелей, которые имеют самые низкие дисперсии для данных значений Е. Заметьте, что отношения весов компонентов одинаковы:

	E=0,1	Е=0,3
Toxico	0,4175733	1,252726
Incubeast