Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

доллар на каж­дые 4 доллара на счете, то выигрываете в два раза больше после 40 ставок, чем в случае ставки одного доллара на каждые 2,50 доллара на вашем счете! Очевидно, что не стоит излишне увеличивать ставку. При ставке 1 доллар на каждые 2,50 доллара вы получите тот же результат, что и в случае ставки четверти этой суммы, то есть 1 доллар на каждые 10 долларов на вашем счете! Отметьте, что в игре 50/50, где вы выигрываете вдвое больше, чем проигрываете, при f= 0,5 вы только «оста­етесь при своих»! При f больше 0,5 вы проигрываете в этой игре, и теперь оконча­тельное разорение — это просто вопрос времени! Другими словами, если f (в игре 50/50, 2:1) на 0,25 отклоняется от оптимального, вы будете банкротом с вероят­ностью, которая приближается к определенности, если продолжать играть доста­точно долго. Таким образом, нашей целью будет объективный поиск пика кривой f для данной торговой системы.

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 значения f

Рисунок 1-1 20 последовательностей +2, -1

В этой книге определенные концепции освещаются с позиции азартных игр. Основное отличие азартной игры от спекуляции заключается в том, что азар­тная игра создает риск (и отсюда многие настроены против нее), в то время как спекуляция является переходом уже существующего риска (предположи­тельного) от одной стороны к другой. Иллюстрации азартных игр использу­ются для наглядного примера излагаемых концепций. Математика управления капиталом и принципы, используемые в торговле и азартных играх, доволь­но похожи. Основная разница состоит в том, что в математике азартных игр мы обычно имеем дело с бернуллиевыми результатами (только два возмож­ных исхода), в то время как в торговле мы сталкиваемся со всем распределе­нием результатов, которые только могут быть в реальной сделке.

Основные концепции

Вероятность задается числом от 0 и 1, которое определяет, насколько вероятен ре­зультат, где 0 — это полное отсутствие вероятности происхождения определенного события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет. Про­цесс независимых испытаний (отбор с замещением) является последовательностью результатов, где значение вероятности постоянно от одного события к другому Бросок монеты является примером такого процесса. Каждый бросок имеет вероят­ность 50/50 независимо от результата предыдущего броска. Даже если последние 5 раз выпадал орел, вероятность того, что при следующем броске выпадет орел, все равно не изменяется и составляет 0,5.

Другой тип случайного процесса характеризуется тем, что результат предыду­щих событий влияет на значение вероятности, и, таким образом, значение веро­ятности непостоянно от одного события к другому Эти виды событий называют­ся процессами зависимых испытаний (отбор без замещения). Игра «21 очко» являет­ся примером такого процесса. После того как вытаскивают карту, состав колоды изменяется. Допустим, что новая колода перемешивается и одна карта удалена, скажем, бубновый туз. До удаления этой карты вероятность вытянуть туза была 4/52, или 0,07692307692. Теперь, когда туза вытащили из колоды и не вернули об­ратно, вероятность вытянуть туза при следующем ходе составляет 3/51, или 0,05882352941.

Различие между независимыми и зависимыми испытаниями состоит в том, что вероятность или фиксирована (независимые попытки), или меняется (зависимые попытки) от одного события к другому, в зависимости от предыдущих результатов. Фактически это и есть единственное различие.

Серийный тест

Когда в случае с колодой карт мы проводим отбор без замещения, можно путем проверки определить, существует ли зависимость. Для определенных событий (таких, как поток прибыли и убытков по сделкам), где зависимость не может быть определена путем проверки, мы будем использовать серийный тест. Серий­ный тест подскажет нам, имеет ли наша система больше (или меньше) периодов последовательных выигрышей и проигрышей, чем случайное распределение.

Цель серийного теста — найти счет Z для периодов выигрышей и проигрышей в системной торговлеe. Счет Z означает, на сколько стандартных отклонений вы удалены от среднего значения распределения. Таким образом, счет Z = 2,00 озна­чает, что вы на 2,00 стандартных отклонения удалились от среднего значения (ожидание случайного распределения периодов выигрышей и проигрышей).

Счет Z — это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности. Например, счет Z

в 1,00 означает, что данные, которые вы тестируете, отклонены на 1 стандартное отклонение от среднего значения.

Счет Z затем переводится в доверительную границу, которая иногда также на­ зывается степенью достоверности. Площадь под кривой нормального распреде­ ления вероятности шириной в 1 стандартное отклонение с каждой стороны от среднего значения равна 68% всей площади под этой кривой. Преобразуем счет Z в доверительную границу. Связь счета Z и доверительной границы следующая: счет Z является числом стандартных отклонений от среднего значения, а довери­тельная граница является долей площади под кривой, заполненной при таком числе стандартных отклонений.

Доверительная Счет Z
граница(%)
99,73 3,00
99 2,58
98 2,33
97 2,17
96 2,05
95,45 2,00
95 1,96
90 1,64

При минимальном количестве 30 закрытых сделок мы можем рассчитать счет Z. Попытаемся узнать, сколько периодов выигрышей (проигрышей) можно ожи­дать от данной системы? Соответствуют ли