'шкала скольжений'.
В том же году при изучении проективной геометрии на Мехмате я познакомился с понятием проективной шкалы на коническом сечениии, в частности, на круге. В работе 'Математическая теория круговой диаграммы' я доказал, что шкала скольжений на круговой диаграмме асинхронного двигателя является проективной шкалой и поэтому на ней, как на всякой проективной шкале, можно с помощью простых геометрических построений производить сложение, вычитание, умножение и деление скольжений. В случае, если на некотором участке круговой диаграммы целочисленные значения s скольжений расположены слишком густо, их можно умножить на 10, и полученные значения 10s будут расположены более удобно.
Когда я показал эту работу профессору МЭИ Б.П.Апарову, большому любителю математики, он сказал - 'это - новенькое'. Тогда я отнес статью в журнал 'Электричество', где ее напечатали в N4 за 1940 г.
В 1939 г., под руководством А.П.Нордена на основе его курса 'Геометрия линейчатого пространства', я написал свою первую чисто геометрическую работу. Норден в своем курсе рассматривал многообразия прямых линий трехмерных неевклидовых пространств Лобачевского и Римана. Мне Норден посоветовал рассмотреть более подробно неевклидово пространстно Римана - эллиптическое пространство. Норден показал, что прямые этого пространства можно изобразить точками 4-мерной квадрики (поверхности второго порядка) в 5-мерном эллиптическом пространсте. При этом линии, 2-мерные и 3-мерные поверхности на квадрике изображают, соответственно, линейчатые поверхности, конгруэнции и комплексы прямых. Я доказал, что геодезические (кратчайшие) линии на квадрике изображают винтовые поверхности (геликоиды) и нашел много свойств квадрики, соответствующих свойствам линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых. Работа под названием 'Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве' была представлена А.Н.Колмогоровым в 'Известия Академии наук СССР' и напечатана в N 5 математической серии этого журнала за 1941 г.
В том же 1939 г., прочитав только что вышедший русский перевод книги 'Высшая геометрия' Феликса Клейна, я написал аналогичную статью о многообразии сфер того же пространства, также изображаемых точками квадрики в 5-мерном пространстве. Работа была напечатана в 'Ученых записках МГУ' в 1944 г.
Весной 1939 г. на Мехмате состоялся конкурс студенческих научных работ. Я объединил все три мои работы под общим заголовком 'Некоторые задачи чистой и прикладной геометрии' и подал на конкурс. Рецензентом работы был П.К.Рашевский. Мне свое мнение о работе он выразил словом 'Начудил!', но дал хороший отзыв. Работа получила вторую премию, которую я разделил с моим сокурсником С.В.Фоминым. Первую премию получил третьекурсник Н. А.Леднев за работу по теории полей классов.
Государственные экзамены
В июне 1939 г. наш курс Мехмата сдавал государственные экзамены. К этому времени я уже был оформлен как студент-экстерн. Я принес из МЭИ справки о сданных мной общественно-политических дисциплинах, физкультуре и военной подготовке. В МГУ мне перезачли эти предметы и допустили к государственным экзаменам.
Мы сдавали три экзамена: математический анализ с Индифуром, основания геометрии, и спецкур, в качестве которого я выбрал проективную геометрию. Анализ я сдавал академику Сергею Львовичу Соболеву. Мне 'попались' неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Я рассказал, как такие уравнения с синусоидальной правой частью решают электротехникии с помощью 'векторных диаграмм'. С.Л.Соболев остался очень доволен. Курс 'Основания геометрии', включающий геометрию Лобачевского, я сдавал В.Ф.Кагану, проективную геометрию - Н.А.Глаголеву. По всем трем госэкзаменам я получил отличные отметки. В моей зачетной книжке все отметки были отличные и мне выдали 'Диплом с отличием'.
Аспирантура
Кафедра В.Ф.Кагана рекомендовала меня в аспирантуру. Против этого возражали общественные организации, так как я был в 1937 г. исключен из комсомола. Но В.В.Степанов, который в это время был директором Научно-исследовательского института математики и механики, при котором находилась аспирантура Мехмата, настоял на моем принятии в аспирантуру.
Приемные экзамены я сдал благополучно. Моим руководителем был назначен П.К.Рашевский. Вместе со мной в аспирантуру были приняты мои сокурсники: ученик Колмогорова Сергей Васильевич Фомин (1917- 1985), алгебраист Олег Николаевич Головин (1916-1989), геометр Моисей Ильич Песин (1913-1941). На курс старше в аспирантуре учился Георгий Евгеньевич Шилов (1917-1972). На курс моложе - Владимир Абрамович Рохлин (1919-1984).
1 сентября 1939 г. началась II Мировая война. В связи с этим Верховный Совет СССР отменил отсрочки от призыва в армию для студентов и аспирантов. Поэтому наиболее авторитетные профессора Мехмата обратились к Наркому Обороны К.Е.Ворошилову с просьбой предоставить, в порядке исключения, отсрочки от призыва до окончания аспирантуры нескольким наиболее перспективным аспирантам, в число которых был включе и я. Мы получили такие отсрочки за подписью Щаденко - заместителя Ворошилова.
В аспирантуре я сдавал 4 экзамена комиссиям: по алгебре, топологии, функциональному анализу и непрерывным группам, и 4 отчета руководителю по различным разделам геометрии.
Для одного из отчетов Рашевский предложил мне изучить 'Лекции по дифференциальной геометрии' Луиджи Бьянки на итальянском языке, которого я не знал. Он уверил меня, что я все пойму по формулам, и он оказался прав.
На экзамене по алгебре Курош попросил меня привести пример некоммутативного поля, и когда я не смог ответить, он сказал: 'Ну, с кватернионами Вам никогда не придется иметь дело'. Но я всю жизнь работал с кватернионами.
В аспирантуре я написал еще несколько статей, развивающих идеи моих первых геометрических работ. В часности, в работе 1941 г. я ввел инвариантную метрику в многообразие m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства и доказал, что роль геодезических линий в этом многообразии играют 'm- геликоиды' - обобщения обычных геликоидов. Рашевский относился к этим работам скептически и считал, что кандидатскую диссертацию по этой тематике мне не написать. Он рекомендовал мне развивать идеи его докторской диссертации о полиметрической геометрии.
На самом деле, моя кандидатская и докторская диссертации выросли из моих первых работ, написанных под руководством А.П.Нордена, а докторскую диссертацию П.К.Рашевского я прочитал, уже будучи доктором наук.
В школе я учил немецкий язык, в МЭИ - английский, на Мехмате сдал немецкий, в аспирантуре я учил французский, а кроме того - итальянский, латинский, древнегреческий и чешский.
Латинский язык я изучал на Истфаке в группе, которую вел Николай Иванович Скаткин. О нем я слышал еще в 25-й школе от его дочери Ляли, которая училась на класс моложе меня. Я встретился с Николаем Ивановичем на 3 курсе МЭИ, он читал нам курс Основ марксизма ленинизма. Он поражал меня своей эрудицией в вопросах древней истории и религий. Впоследствии он преподавал латынь на Истфаке. Латынь он преподавал великолепно, до сих пор помню стихотворение Горация 'Exegi monumentum', под влиянием которого было написано стихотворение А.С.Пушкина 'Я памятник себе воздвиг нерукотворный'.
От занятий древнегреческим языком под руководством проф. Гракова в моей памяти сохранились печальное стихотворение Сафо и веселое стихотворение Анакреона.
Латынь и древнегреческий язык оказались для меня весьма полезными позднее, когда я занялся историей математики.
Я давно хотел познакомиться с каким нибудь западно-европейским славянским языком. Польский я слышал дома - на нем говорили мама и тетя Цеся. В университете я узнал, что на Истфаке изучают чешский язык. Я пришел к ним на занятие. Преподавательница Юлия Конова сказала, что они занимаются уже второй год. Но я попросил проверить меня на каком нибудь тексте. Мне дали статью, которая начиналась словами: Feudalna zaostalost Rakovske. Я бодро стал переводить: Феодальная отсталость Раковской... Раковска-это наверное какая нибудь область Чехословакии. Оказалось, что Rakovska - чешское название Австрии. Преподавательница посмеялась, но в группу меня приняла. Мы целый год читали роман Ивана Ольбрахта 'Никола Шугай'. Из тех, кто занимался со мной я помню Надю Ратнер, которая стала известным словяноведом.
