Вопросы механики в сочинениях Ибн ал-Хайсама рассматривали М.М.Рожанская и Т.Д.Столярова.
ал-Бируни
Крупнейшим ученым средневекового Востока был Абу'р-Райхан ал- Бируни (973 -1048). Ал-Бируни родился в древней столице Хорезма Кясе, ныне это город Бируни в Каракалпатии, входящей в состав Узбекистана. Учителем ал-Бируни был хорезмский астроном и математик Ибн Ирак, родственник шаха Хорезма, учившийся в Багдаде у ал-Бузджани. Позже ал- Бируни работал в иранских городах Рее, ныне входящем в состав Тегерана, и Горгане на берегу Каспийского моря, в новой столице Хорезма Гургандже (ныне Ургенч - главный город Хорезмской области Узбекистана). После завоевания Хорезма Махмудом Газневи ал-Бируни работал в его столице Газне (ныне в Афганистане) при дворе Махмуда, его сына Мас'уда, (которому посвящен 'Канон Мас'уда) и внука Маудуда. Во время похода Махмуда в Индию ал- Бируни некоторое время жил в Индии.
Труды ал-Бируни были предметом многих моих работ и работ моих учеников. Я уже упоминал о русских переводах сочинений ал-Бируни и таджикской транскрипции 'Книги вразумления', подготовленных при моем участии.
В 1973 г. к празднованию 1000-летия со дня рождения ал-Бируни были опубликованы научная биография ал-Бируни, написанная мной, М.М.Рожанской и З.К.Соколовской, книга об ал-Бируни, написанная мной и Б.М.Кедровым, и несколько сборников, в которых я участвовал. Юбилей ал- Бируни отмечался в Москве и Ташкенте.
При подготовке переводов сочинений ал-Бируни я консультировался с замечательным арабистом Михаилом Александровичем Салье, переводчиком 'Тысячи и одной ночи' и I тома 'Избранных произведений' ал-Бируни. М.А.Салье поначалу относился ко мне свысока, как мэтр к начинающему. Его отношение ко мне изменилось при следующих обстоятельствах. В переводе I тома ал-Бируни Салье привел таблицу звезд 'стоянок Луны' - групп звезд, в которых Луна находится в каждый день лунного месяца. Эта таблица состояла из 7 столбцов - название стоянки, положение звезды в созвездии, 'количество звезд в созвездии', долгота звезды, широта звезды, сторона (северная или южная),'величина' звезды. В 3-м столбце стоят цифры, часто подряд, например 22, 23, 24. Я сказал Салье, что в 3-м столбце указано не количества, а номера звезд в созвездии по звездному каталогу Птолемея. В арабском языке, как и в многих других языках, 'число' и 'номер' выражаются одним и тем же словом. Салье понял свою ошибку и изменил свое отношение ко мне.
III книга 'Канона Мас'уда' посвящена вопросам математики, необходимым для астрономии. Здесь вычислены хорды, стягивающие дуги равные 1/n окружности, т.е. стороны правильных многоугольников, вписанных в круг, даны определения тригонометрических линий, доказаны теоремы синусов плоской и сферической тригонометрии и приведены таблицы синусов и тангенсов.
В начале 5-й главы этой книги ал-Бируни писал: 'Хотя единичное и относится к объектам счета, но если рассматривать единицу в [совокупности сущностей] обладающих веществом, то она не является истинной по своей сущности, а [принята] условно и по общему соглашению, как в части деления окружностей кругов....У окружности круга к его диаметру имеется некое отношение, поэтому у числа окружности к числу диаметра также есть отношение, хотя оно и иррационально'. Под 'сущностями, обладающими веществом' ал-Бируни имел в виду непрерывные величины, для которых, в отличие от натуральных чисел, единица выбирается условно, как градус для дуг окружности. Под 'числом диаметра' он имел в виду натуральное число 2, а под 'числом окружности' - обобщение понятия числа, то, что мы называем вещественным числом (как подходит этот термин к термину ал- Бируни 'сущности, обладающие веществом'!). Иррациональное отношение, о котором здесь говорится - число п.
Определив синусы и тангенсы и приведя их таблицы, ал-Бируни формулирует правило квадратичного интерполирования этих таблиц, а затем приводит такое же правило 'для всех таблиц', т.е. для всех рассматриваемых им функций. В следующих книгах 'Канона Мас'уда' встречается большое число функций, являющихся комбинациями алгебраических и тригонометрических функций. Ал-Бируни называл функции 'таблицами', так как задавал их с помощью таблиц. Изучению функциональных зависимостей, рассматриваемых в 'Каноне Мас'уда', была посвящена кандидатская диссертация М.М.Рожанской.
В книгах 'Канона Мас'уда' о движении Солнца, Луны и планет имеются главы, названия которых мы перевели как главы о наглядном представлении движения этих небесных тел. На самом деле в этих главах ал-Бируни изложил восходящую к 'Планетным гипотезам' Птолемея теорию движения этих тел по трубам в массивных небесных сферах.
В 'Книге вразумления' ал-Бируни подробно изложил технику астрологических предсказаний, а в конце этой части книги написал, что для удачного предсказания прежде всего следует выяснить, что хочет услышать клиент, но искусство астролога состоит в том, чтобы, умело воспользовавшись имеющимися в его распоряжении элементами произвола, получить нужный результат с помощью канонического алгоритма астрологических предсказаний.
Я и мои ученики много занимались трактатами ал-Бируни об астролябиях. Сам ал-Бируни считал свою 'Книгу исчерпания всех возможных способов построения астролябии' настолько важной, что, находясь в Индии, перевел ее на санскрит для индийских ученых вместе с 'Началами' Евклида и 'Алмагестом' Птолемея. Эта книга и три другие сочинения ал-Бируни об астролябиях - 'Книга о том, что превращает потенцию астролябии в действительность', 'Книга о способе применения видов астролябии' и ' Книга жемчужин о проектировании сферы на плоскость' были переведены на русский язык учеником М.А.Сабирова Садыкджаном Вахабовым, защитившим на основе изучения этих сочинений кандидатскую диссертацию.
В 'Книге исчерпания' в разделе о построении 'совершенной' астролябии ас-Сагани, в которой стереографическая проекция небесной сферы на плоскость из одного полюса сферы, применяемая в обычных астролябиях, заменена проектированием небесной сферы на плоскость из произвольной точки оси небесной сферы, ал-Бируни применяет проективное преобразование.
Омар Хайям
В главе 'Баку' я упоминал, что первыми сочинениями, которые я перевел с арабского на руссий язык были три сочинения Омара Хайяма (1048- 1131). В 1962 г. я опубликовал в Москве сборник трактатов Хайяма, содержащий факсимиле рукописей и переводы двух математических трактатов, механического трактата, пяти философских трактатов, отрывка из астрономических таблиц, а также 'Книги о новом годе'.
В 'Трактате о доказательстве задач алгебры и алмукабалы', Хайам дал классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни, и для каждого типа уравнений предложил решение с помощью пересечения двух конических сечений, являющихся окружностью, равносторонними гиперболами с горизонтальными и вертикальными осями или асимптотами и параболами с горизонтальными или вертикальными осями. При этом Хайям подчеркивал аналогию между окружностями и равносторонними гиперболами.
Геометрический трактат Хайяма 'Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида' состоит из трех частей: 1) о теории параллельных линий, 2) о теории отношений, 3) о теории составных отношений.
В 1-й части Хайям предложил доказательство V постулата Евклида на основе более наглядного постулата Аристотеля. В этом доказательстве Хайям впервые рассматривал четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и двумя равными боковыми сторонами и три гипотезы о его равных верхних углах. Этот четырехугольник и три гипотезы рассматривал в XVIII веке Дж.Саккери. Как и в случае четырехугольника Ибн ал-Хайсама гипотеза острого угла выполняется в неевклидовой геометрии Лобачевского, гипотеза тупого угла - в неевклидовой геометрии Римана, а гипотеза прямого угла - в евклидовой геометрии.
Во 2-й части Хайям переоткрыл определение Теэтета равенства отношений, основанное на представлении отношений в виде непрерывных дробей и доказал эквивалентность этого определения и определения Евдокса, изложенного в V книге 'Начал' Евклида. Обрывая непрерывные дроби можно получить рациональные приближения отношений с любой степенью точности.
В 3-ей части Хайям, развивая идею Теона о 'знаменованиях' отношений, связывал с каждым отношением геометрических величин А/В обобщение понятия числа равносильное положительному вещественному числу. Подобно ал-Бируни Хайям писал: 'Выберем единицу и сделаем ее отношение к
