связанных с ней теории симметрических Римановых пространств и пространств аффинной связности, а также других обобщенных пространств.
Геометрическая алгебра в Европе и многомерная геометрия
В 'Истории неевклидовой геометрии' я рассмотрел различные виды геометрической алгебры европейских математиков. Это, прежде всего, исчисление треугольников в 'Первых замечаниях к видовой логистике' Ф.Виета, oказавшее сильнoe влияние на возникновение аналитической геометрии Пьера Ферма (1601-1665).
К геометрической алгебре относится исчисление отрезков Рене Декарта (1596-1650), связанное с его аналитической геометрией.
Дальнейшим развитием принципов геометрической алгебры была идея Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) о 'геометрии положения', оказавшая исключительное влияние на появление и развитие топологии в работах Эйлера, Римана и Пуанкаре, на развитие проективной геометрии в работах Лазара Карно (1753-1823) и Христиана фон Штаудта (1798-1867) на возникновение векторной алгебры и многомерной геометрии в 'Учении о протяжении' Германа Грассмана (1809-1877).
Другими направлениями развития геометрической алгебры были теория Симона Стевина (1548-1620) сложения сил в механике и алгебра векторов и кватернионов у Вильяма Роуана Гамильтона (1805- 1865).
В той же книге я проследил возникновение и развитие многомерной геометрии. В неявном виде эта геометрия появилась еще в работах Михаэля Васильевича Остроградского (1801-1862) и Карла Густава Якоба Якоби (1804-1851) о кратных интегралах. Таким образом, Остроградский, который не понял открытия Лобачевского и написал отрицательный отзыв на его первую публикацию, сам оказался причастным к расширению понятия о пространстве. Я рассмотрел работы Грассмана, Людвига Шлефли (1814-1895) и Германа Вейля (1885-1955) по многомерной евклидовой геометрии, работу Римана, в которой была основана многомерная геометрия искривленного пространства, его заметку о многомерной топологии, идеи которой развили его друг Энрико Бетти (1823-1892) и Пуанкаре, который основал геометрию многомерных многообразий и комбинаторную топологию. Риман и Пуанкаре называли топологию Analysis situs, слово 'топология' - перевод этого термина с латинского на греческий язык.
Я изучал также историю бесконечномерной геометрии, основанную Сальваторе Пинкерле (1853-1936) и Давидом Гильбертом (1862-1943), которые рассматривали в качестве точек и векторов бесконечномерных пространств функции. Замечу, что русский математик Владимир Андреевич Стеклов, который бурно протестовал против многомерной геометрии Римана, в своих работах об 'ортогональных функциях' фактически пользовался бесконечномерным пространством Гильберта. Геометрия гильбертова пространства широко применяется в квантовой механике.
Группы вращений гиперсфер в гильбертовых пространствах некомпактны, как и сами эти гиперсферы. Я несколько раз упоминал унитарные представления некомпактных простых групп Ли, опреденные Израилем Моисеевича Гельфандом (р. 1913) и его сотрудниками и Хариш - Чандрой (1923-1983). Эти представления являются гомоморфными отображениями некомпактных простых групп Ли в группы вращений гиперсфер комплексных гильбертовых пространств.
В главе 'Пространства и группы' я упоминал принцип двойственности проективной геометрии и обобщения этого принципа, предложенные Э.Картаном, в том числе принцип тройственности, а также группы, которые И.М.Гельфанд предложил называть двойственными и тройственными по Картану. Обобщения принципа двойственности, предложенные Картаном, связаны с двусторонней и трехсторонней симметриями диаграмм Дынкина соответственных групп Ли.
Многие мои работы, начиная с докторской диссертации и работы 1949 г., помещенной в сборнике моих переводов работ Картана, посвящены образам симметрии различных пространств, образующим модели симметрических пространств Картана, определяемых двусторонними симметриями. Образы симметрии различных пространств изучались и многими моими учениками. В моей книге 2003г. совместной с М.П. Замаховским рассматриваются обобщения симметрических пространств, называемые периодическими пространствами. Эти пространства определяются k-сторонними симметриями при k >2.
Симметрии привлекали внимание математиков и философов еще в древности. Правильные многогранники, обладающие максимальной симметрией, были открыты пифагорейцами и играли особую роль в философии Платона, вследствие чего их часто называют 'платоновыми телами'. Платон считал, что атомы четырех греческих элементов имеют форму четырех правильных многогранников: атомы огня имеют форму правильного тетраэдра, атомы воздуха - форму октаэдра, атомы воды - форму икосаэдра, а атомы земли - форму куба. Форму пятого правильного многогранника - додекаэдра по мнению Платона имеет мир в целом, а на 12 гранях этого додекаэдра по его мнению изображены 12 знаков зодиака. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов, группы симметрии октаэдра и куба - из 48 элементов, группы симметрии икосаэдра и додекаэдра - из 120 элементов.
Великий математик первой половины ХХ века Герман Вейль в своей книге 'Симметрия' отметил, что изображения божеств, святых и священных животных в ассиро-вавилонском, древнегреческом, римском и средневековом искусстве всегда симметричны. Симметрия этих изображений указывает на то, что их авторы ощущали глубокую связь между божественным и симметричным.
Двойственность у пифагорейцев
Пары противоположных свойств играли важную роль в философии пифагорейцев. Аристотель писал о них в своей 'Метафизике': 'Пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое'.
Из этих пар противополижностей 1-я, 4-я,7-я и 10-я пары относятся к геометрии, 2-я и 3-я - к арифметике, 5-я - к биологии, 6-я - к механике, 8-я - к физике, 9-я - к этике. Пифагорейцы рассматривали все эти пары противоположностей вместе потому, что они не выделяли отдельных наук из единой универсальной науки.
В каждой паре противоположностей первую пифагорейцы считали совершенной, а вторую - несовершенной.
Пифагорейцы отождествляли единицы не только с точками, но и с душами неродившихся или умерших людей, а вещи, в том числе тела людей, отождествлялись с числами, поэтому пифагорейская пара противоположностей 'единое и множество' по существу совпадает с парой 'душа и тело'.
Пара противоположностей 'единое и множество' - такая же древняя, как пара 'душа и тело'. Первоначально это были два первых числа, впоследствии второе из этих двух 'чисел' превратилось в число 2, и 'чисел' стало три - 1, 2 и 'много'. Затем это новое 'много' превратилось в число 3 и появился числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 'много'. Впоследствии и этот ряд расширился и последнее слово 'много' превратилось в число 7. О том, что слово 'семь' первоначально обозначало неопределенно большое количество, свидетельствуют русские пословицы 'семь бед - один ответ', 'у семи нянек дитя без глаза', 'один с сошкой - семеро с ложкой', 'семь раз отмерь, один раз отрежь'. Позже такими числами, названия которых прежде обозначали неопределенно большое количество, стали 12 и 40. Числа 2, 3, 7, 12 и 40 и позже сохранили мистический характер, этим объясняется особая роль этих чисел во многих религиях и культурах.
Среди 7 'планет' древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие 'свету и тьме' и Марс и Венера, соответствующие 'мужскому и женскому', которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 'планет' удалить эти две пары, мы получим 'античную троицу' - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса- Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.
Симметричная и асимметричная двойственность
