Учительница хочет, чтобы ее ученики поняли арифметический смысл действия деления, поэтому она предлагает им объяснить свои предположения. Ученик, который говорит, что шесть вмещается в тридцать два раза, отвечает, что 6 + 6 = 12, что двенадцать меньше, чем тридцать, поэтому шесть вмещается в тридцать – два раза. Одна ученица, которая дала правильный ответ, пишет пример на доске в стандартной форме, однако не может объяснить, как она его получила, но сообщает, что научилась этому у своего дяди. Ученик, который ответил «десять», не может объяснить свой ответ, но он твердо уверен, что это правильно. Тот, который нарисовал на доске пять групп кошек, просто сказал, что «деление – это распределение на группы». А тот ученик, который ответил «пять», пишет на доске другой пример: 15: 3. Он защитил свой ответ, сказав, что этот пример «то же самое», что шесть в тридцати.
Такой подход позволяет начать плодотворное обсуждение. Довольно многие ученики откликнулись на предложение учителя, они высказали разнообразные и интересные в математическом плане мысли и начали их пояснять. Несколько вариантов предложенных на уроке ответов показали понимание сути деления, но совершенно по-разному. Одна ученица показала механическое знание деления (как у большинства взрослых людей), но явно без понимания смысла. Два других ответа говорят о большем понимании деления, чем у многих американских взрослых, но они необычны и в некоторых отношениях расходятся. Были также ученики, не имеющие ответов, и те, кто, по-видимому, явно думал не в том направлении. Учительница хочет, чтобы класс в едином порыве объединился в азартном обсуждении, как решить пример на деление, – но как ей лучше помочь ученикам затеять дискуссию? Следует ли ей начать с правильного ответа, и если да, то с чьего? С ответа того, кто нарисовал деление в виде групп кошек? Или с предложившего сокращенный вариант решения? Возможно, более целесообразно начать с учеников, которые заявили, что шесть вписывается в тридцать два и три раза. В этом есть что-то рациональное, и такой подход может быть ближе большинству детей в этом классе; возможно, это будет полезнее для учеников, которые ничего не сказали. Но будет ли это полезно для тех, кто предпринял другой мыслительный ход? Продолжат ли они участие в обсуждении, если сначала будет принят более примитивный ответ?
Учителя, которые придерживаются традиционного подхода к этому разделу арифметики, меньше ломают голову в аналогичных случаях. Они могут продемонстрировать, как производить деление, по стандартному алгоритму в формате лекции у доски (ячейка 2). Раздать или продиктовать несколько примеров и работать с учениками так, чтобы в процессе тренировки для закрепления материала те запомнили процедуру (ячейка 1). Они могут провести опрос по делению (ячейка 3). Или сочетать все три подхода. Знающий учитель может объяснить деление, прибегнув к лекции (ячейка 6), в которой он представит различные подходы к делению, рассмотрит противоречия каждого и обсудит, какой подход лучше, и все это в виде монолога. Для этого ему необходимо воображение, проницательность и способность к ярким высказываниям, но он может управлять всем сам, привлекая в свой монолог ключевые идеи, споры и обучающие «загадки» в той последовательности и в таком темпе, какие он сочтет оптимальными. Он может задавать только те вопросы, которые считает важными, давать ответы, которые находит достаточными, причем тогда, когда сочтет нужным. Такие учителя могут четко изложить тему или область знаний и строить мосты к ученикам, при этом у них все получится. Работу эту нельзя назвать легкой: преподаватели должны хорошо знать материал и владеть навыком распаковки сообщаемых знаний. Но говоря обо всем этом в одном монологе, они сокращают сложность и неопределенность предмета лекции. Исключая других участников, они закрывают непредсказуемые элементы многогранного разговора, для управления которым необходимы навыки и знания.
Моя гипотетическая учительница должна учесть все эти непредсказуемые элементы, если ее цель – помочь ученикам вести обсуждение, как она его задумала (ячейка 8). Она должна управлять сложными взаимодействиями, отслеживать множество непростых идей, помогать регулировать участие учеников, научить их правилам поведения во время дискуссии, причем все это более или менее одновременно. Чтобы это сделать, ей необходимо оценить достоинства нескольких, казалось бы, противоположных взглядов на проблему и помочь ученикам развить свое понимание в дальнейшей работе. Поскольку большинство учеников ничего не поймет с первого раза, она должна быть готова поддержать их, чтобы они не боялись вновь ошибаться, а продолжали пытаться объяснить свои размышления и понять, как их усовершенствовать. Она должна найти способы, позволяющие удержать внимание и тех, кто работает быстро, и тех, кто работает медленно, она должна справиться с нерешительными и упрямыми – или с теми, кто вообще ничего не понял.
Когда такое преподавание идет успешно, классы превращаются в маленькие исследовательские сообщества, но происходит это только в том случае, если учителя и учащиеся в состоянии справиться со сложным материалом в условиях сложных взаимодействий. Учителя должны хорошо владеть методами традиционного исследования с аргументацией, а также вдумчиво оценивать то, как ученики воспринимают новый материал.[96] Им необходимо быстро реагировать, чтобы уловить мысль ребенка, и проявлять терпение, поощряя ребят не бояться высказывать свои соображения, пусть самые неуверенные и несовершенные. Они должны подхватывать здравые мысли и помогать классу увязывать их в один узел знания. Вернемся к приведенному выше примеру с делением. В условиях образования нескольких групп мнений учащихся учитель должен совместить их понимание с различными способами презентации, причем сделать это он должен с воображением, тактом, терпением, что позволит ученикам высказывать свои представления о том, как делить и объединять и как представить деление и объединение товарищам в классе. Учителя должны сочетать математические знания, необходимые, чтобы помочь ученикам рассмотреть различные идеи и выделить соответствующие, со способностью минимизировать отвлекающие факторы, никого не обидеть, сохранить активное и живое участие всех и управлять обсуждением мыслей и аргументов. Любое из этих качеств требует значительного мастерства и знаний, то есть высочайшей квалификации и множества дополнительных ресурсов. Учителя, совершающие такую работу, развивают сложную и тщательно разработанную педагогическую практику.
К ученикам тоже предъявляются серьезные требования. Предложить им понять деление (как это сделала моя гипотетическая учительница) – значит делегировать им большую ответственность за собственное обучение. Ученику, который сказал, что деление – это «распределение предметов по группам», придется объяснить, почему он выбрал этот
