Путеводитель для влюбленных в математику

двумя условиями: положительным числом r и точкой X. Как вы знаете, точку X мы называем центром окружности, а число r – радиусом.

При построении (чернилами на бумаге или пикселями на экране) окружность имеет некоторую толщину, но с математической точки зрения толщина окружности равна нулю.

Окружности – близкие родственники сфер. А что такое сфера? Это множество точек в пространстве, равноудаленных от некоторой точки. Обратите внимание: два определения почти одинаковы, за исключением того, что окружность находится в плоскости.

Уравнение окружности

Точки на плоскости задаются двумя координатами: x и y. Если мы записываем уравнение с двумя переменными, множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, задают какую-нибудь геометрическую фигуру.

Например, уравнению x² + y² = 1 удовлетворяют некоторые, но не все точки плоскости. Скажем, точка с координатами (1, 0) удовлетворяет уравнению, потому что 1² + 0² = 1. Точно так же точка (3/5, 4/5) тоже удовлетворяет уравнению:

С другой стороны, точка (1/2, 1/2) не удовлетворяет уравнению, потому что

Что можно сказать о точках, удовлетворяющих уравнению x² + y² = 1? Они задают окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Почему? Давайте подумаем о точке (x, y). Она задает прямоугольный треугольник. Проведем перпендикуляры к осям абсцисс и ординат и соединим отрезком нашу точку с началом координат, как показано на рисунке.

Длины катетов треугольника равны x и y, и по теореме Пифагора (см. главу 14) длина гипотенузы равна Это не что иное, как расстояние от точки (x, y) до точки (0, 0).

Если мы ищем точки, удаленные от начала координат на расстояние 1, они должны удовлетворять условию:

Возведем обе части в квадрат и получим x² + y² = 1!

В общем случае, если центр окружности c радиусом r расположен не в начале координат, а в точке (a, b), она задается уравнением:

(x – a)² + (y – b)² = r².

Треугольники прямо внутри

Любые две несовпадающие точки задают прямую, а вот три точки не обязательно принадлежат одной прямой. Но есть всего одна окружность, которая включает все три точки, не лежащие на одной прямой. Вы узнали из главы 13, что точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности, так как эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника.

Вопрос: как вписать треугольник в полуокружность, чтобы одна из его сторон совпадала с диаметром окружности?

Вот отличный ответ: треугольник можно вписать в полуокружность исключительно в том случае, если один из его углов прямой (то есть речь идет о прямоугольном треугольнике).

Теорема Птолемея

Расставим на окружности четыре точки: A, B, C и D. Они задают четыре величины: длины сторон четырехугольника |AB|, |BC|, |CD|, |AD| и длины двух его диагоналей d₁ и d₂.

Теорема Птолемея изящно связывает эти величины:

d₁ × d₂ = |AB| × |CD| + |BC| × |AD|.

И наоборот, если длины сторон и диагоналей четырехугольника удовлетворяют этой формуле, его вершины лежат на одной окружности.

Упаковка

Насколько плотно можно упаковать круги? Будем считать, что все круги имеют один радиус (скажем, 1) и мы хотим упаковать на значительном участке плоскости максимальное их число (представьте поднос, на котором нужно уместить как можно больше консервных банок).

Простейшая идея заключается в группировании кругов по четыре так, чтобы их центры образовывали квадрат. Тогда каждый круг, расположенный внутри, касается четырех соседних, а те, что на границе, касаются трех соседних:

Насколько эффективна такая упаковка? Один из критериев – измерить, какую часть плоскости покрывают все эти круги.

Посмотрим повнимательней на четыре круга, чьи центры лежат в вершинах квадрата. Радиусы кругов равны 1, потому сторона квадрата равна 2, а его площадь – 4. Квадрат не полностью покрыт областями, находящимися внутри кругов. Его перекрывает ровно четверть каждого из четырех кругов; таким образом, общая площадь кругов и квадрата равна площади одного круга, то есть π.

Соотношение между покрытой и непокрытой частями плоскости равно Мы можем усеять всю плоскость такими вот четверками окружностей, и они покроют примерно 78,5 % плоскости.

Неплохо, но можно сделать и лучше. Пусть теперь центры шести окружностей совпадают с вершинами правильного шестиугольника, а седьмая окружность располагается внутри него:

При таком подходе круги накрывают больше 90 % плоскости. Подумайте, как это вычислить. Ответ – в конце главы.

Гексагональная упаковка кругов на плоскости – самая плотная.

Естественно, возникает вопрос: а как насчет трех измерений?[161] Ответ, вероятно, был известен уже в античности, но со всей строгостью его сформулировал Иоганн Кеплер в начале XVII века. Кеплер утверждал, что наиболее плотная упаковка шаров такая, что при сечении плоскостью, проходящей через центры шаров в одном ряду, выясняется, что центры шести соседних шаров лежат на вершинах правильного шестиугольника, а центр седьмого шара совпадает с центром этого шестиугольника (см. рисунок выше). Тогда шары покрывают примерно 74 % пространства[162].

Сложность состояла в том, чтобы доказать, что это действительно наиболее плотная упаковка и нет никаких альтернатив. С задачей на плоскости разобрались довольно быстро, но решение пространственной задачи потребовало 400 лет. Лишь в 1990-е годы Томас Хэйлс[163] опубликовал сверхсложное доказательство, включающее теоретические выкладки и массу вычислений. Независимые эксперты дотошно изучили доказательство Хэйлса и не обнаружили там никаких погрешностей.

Окружности целуются

Если вы начертите три окружности, которые попарно касаются друг друга, в пространстве между ними уместится четвертая окружность, касающаяся всех трех. Вот как выглядят четыре касающиеся друг друга окружности:

Как соотносятся размеры этих четырех окружностей? Иначе говоря, если мы знаем радиус трех окружностей, можем ли мы вычислить радиус четвертой?

Рене Декарт[164] опубликовал решение этой задачи в начале XVII века. Разберем его результат в простейшем виде. Нам понадобится определение кривизны окружности: это величина, обратная радиусу. Например, окружность с радиусом 2 имеет кривизну 1/2.

Декарт пришел к следующему выводу: если кривизны «целующихся» окружностей равны k_1, k_2, k_3, k₄, то соотношение между ними укладывается в формулу:

Например, если три большие окружности имеют радиус/кривизну 1, а кривизна малой окружности равна c, то из формулы (*) следует:

Решение квадратного уравнения дает

Таким образом,

Отрицательное число нам не подходит, ведь как радиус/кривизна окружности может быть меньше нуля? Таким образом, кривизна малой окружности равна примерно 6,464, а радиус – примерно 0,1547.

Четыре окружности могут «поцеловаться» иначе. Начертим снова три окружности, касающиеся друг друга, но вместо малой окружности внутри опишем большую окружность, касающуюся всех трех окружностей снаружи:

Хорошая новость: решение Декарта по-прежнему остается в силе. Фокус состоит в том, чтобы взять отрицательный корень квадратного уравнения с обратным знаком!

Например, давайте снова рассмотрим три окружности с радиусом 1. Формула (*) вновь приводит нас к двум ответам. Но теперь большая