Квантовая магия

(второй вариант).

1-форма произвольного объема может быть

проанализирована

путем разбиения ее на введенные элементарные объемы.

Теперь мы располагаем уже всеми необходимыми понятиями, чтобы сформулировать определение[159] тензора энергии-импульса в терминах дифференциальных форм: тензором энергии-импульса называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится 1-форма объема ?, а в другой — произвольный вектор w или 1-форма ?, и в результате получается проекция 4- импульса на этот вектор или 1-форму соответственно, то есть

T(

w, ?) = w · p, T(?, ?) = a?, pn. (5.6)

Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса p на 4-вектор скорости наблюдателя u дает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W = —u · p.

Пространственные компоненты

T^ik

из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время ?t эта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого равна ? = L²_+k ?

tdx^k

. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей

лоренцевой

системе, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За время ?t он сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс ?p, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.

Обозначим компоненты скорости наблюдателя через

uⁱ

= (?xⁱ/?t)

e_i

. Тогда компоненты

T^ik

можно определить из (5.6):

uⁱ

· ?p = —?W = T(

uⁱ

, ?), (5.7)

или в компонентных обозначениях,

—?W = (?xⁱ/?t) L²_+k? t T(

e_i

,

dx^k

) = ?xⁱL²_+k

T^ik

, (5.8)

. (5.9)

Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим

—N

_iW

/L²+_k =

T^ik

. (5.10)

Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии N

_iW

уже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя ?xⁱ входит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m₀c², как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.

Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии- импульса в терминах потока импульса, нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество N

_iW

? — ?p_i/?t, связывающее энергетическое и импульсное представления компонент тензора энергии-импульса.

Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5). Устремляя

исходный

3-объем к нулю и имея при этом L²_+k> ?S_+k, получим

, (5.11)

то есть

i

-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или

i

-компоненту объемной плотности градиента энергии.

Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент энергии в этом объеме.