что интерес сосредоточивается в них единственно на разработке степенных определений.
Как ни важна эта основа, и хотя она сейчас же выдвигает на первое место нечто определенное вместо совершенно формальных категорий переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п., или функций вообще, но она еще слишком обща, с тем же имеют дело и другие действия; уже возвышение в степень и извлечение корней, за сим учение о показательных величинах и логарифмах, ряды, уравнения высших степеней имеют интерес и приложение также лишь к отношениям, основанным на степенях. Без сомнения, все это в своей совокупности составляет систему учения о степенях; но какие именно из различных отношений, в коих положены степенные определения, суть те, которые составляют собственный предмет и интерес для дифференциального исчисления, это должно быть выведено из него самого, т. е. из так называемых его приложений. Последние и составляют поистине самую суть дела, действительный прием математического разрешения известного круга задач; этот прием возник ранее, чем теория или общая часть, и был впоследствии назван приложением лишь в виду позднее созданной теории, которая имела целью установить его общий метод, а также дать ему принципы, т. е. оправдание. Как тщетно было старание найти при современном понимании этого приема такие принципы, которые действительно разрешали бы возникающее при этом противоречие, а не извиняли бы или прикрывали бы {187}его указанием на незначительность математически необходимого, а между тем при этом приеме опускаемого члена, или на сводящуюся к тому же возможность бесконечного или любого приближения и т. п., — это было указано в предыдущем примечании. Если бы в той действительной части математики, которая именуется дифференциальным исчислением, общие начала метода были отвлеченно изложены и иначе, чем это делалось доселе, то сказанные принципы и труд над ними оказались бы столь же излишними, так как в них самих есть нечто ложное и противоречивое.
Если мы исследуем своеобразие этой части математики путем простого выделения того, что в ней существует, то ее предметом окажутся ?) уравнения, в которых любое число величин (мы можем здесь вообще остановиться на двух) связано в определенное целое так, что, во-первых, их определенность состоит в эмпирических величинах, как их постоянных пределах, и затем в способе связи как с последними, так и между собою, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как для обеих величин дано лишь одно уравнение (то же справедливо относительно многих уравнений со многими величинами в том смысле, что число уравнений всегда менее, чем число величин), то это уравнения неопределенные; а во-вторых, что одна из сторон, сообщающая величинам их определенность, состоит в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в степени высшей, чем первая степень.
Здесь нужно сделать несколько замечаний; во-первых, что величины по первому из вышеизложенных определений имеют вполне лишь свойства таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Они неопределенны, но так, что если одной почему-либо сообщается вполне определенное т. е. числовое значение, то и другая становится определенною; таким образом, одна из них есть функция другой. Категории переменных величин, функций и т. п. имеют поэтому для той специфической определенности, о которой здесь идет речь, лишь формальное значение, так как этим категориям свойственна общность, не содержащая еще того специфического, к коему направлен весь интерес дифференциального исчисления, равно как из них нельзя вывести этого специфического и через анализ; это суть простые, незначительные, легкие определения, которые становятся трудными лишь постольку, поскольку в них включают для того, чтобы затем вывести из них, то, что им несвойственно, именно специфическое определение дифференциального исчисления. Что касается далее т. наз. постоянной величины, то о ней следует сказать, что она есть ближайшим образом безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ соединения постоянной величины с переменными есть один из моментов для природы той частной функции, которую образуют эти величины. Наоборот, постоянные величины суть сами функции; поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, то это значение приводит к тому, что линия {188} есть функция y2/x; точно также в развитии двучлена постоянная величина, как коэффициент первого члена ряда, есть сумма корней, второго — сумма их произведений по два и т. д., т. е. эти постоянные суть здесь вообще функции корней; там, где в интегральном исчислении постоянная определяется из данной формулы, она считается ее функциею. Эти коэффициенты будут рассмотрены нами далее еще и в другом определении, как функции, конкретное значение которых составляет их главный интерес.
Но главное, в чем рассмотрение переменных величин в дифференциальном исчислении отличается от их свойств в неопределенных задачах, состоит в том вышеприведенном указании, что по крайней мере одна из этих величин или все они должны иметь степень выше первой, причем опять-таки безразлично, все ли они имеют высшую степень или неравные степени; та специфическая неопределенность, которая им тут свойственна, состоит единственно в том, что они суть функции одна другой именно в таком-то степенном отношении. Тем самым изменение переменных величин определяется качественно и, стало быть, непрерывно, и эта непрерывность, которая есть для себя опять-таки лишь формальная категория некоторого тожества вообще, некоторой сохраняющейся в изменении саморавной определенности, имеет здесь свой определенный смысл и именно исключительно в степенном отношении, показатель которого не есть определенное количество, и которое образует собою не количественную, постоянную определенность отношения переменных величин. Поэтому можно и против другого вида формализма заметить, что первая степень есть степень лишь в отношении к высшим степеням; для себя же х есть лишь некоторое неопределенное количество. Поэтому не имеет смысла дифференцировать для себя уравнения прямой линии у=ах+b или ложно равномерного движения s=ct; если из у=ах или даже из у=ах+b получается а=dy/dx или из s=ct получается ds/dt=с, то в такой же мере тангенс есть а=y/x или ложная скорость s/t=с. Последняя выражается через dy/dx в связи с тем, что получается при развитии формулы равномерно ускоренного движения; но что в системе такого движения имеется момент движения простого, ложно равномерного, т. е. не определенного высшею степенью момента движения, — это есть, как замечено выше, лишь пустое, единственно на рутине метода основанное предположение. Если метод исходит от представления приращения переменной величины, то, конечно, может испытывать приращение и такая величина, которая есть функция первой степени; но когда для нахождения дифференциала берется различие возникшего таким образом второго уравнения от данного, то сейчас же и обнаруживается пустота действия в том, что, как сказано, уравнение до и после него остается для т. наз. приращения тем же, чем и для переменной величины.{189}
?) Сказанным определяется природа подлежащих действию уравнений, и надлежит лишь показать, к какому интересу направляется это действие. Это рассмотрение может дать лишь уже известные результаты, к каким по форме приводит особенно понимание этого предмета Лагранжем; но я прибегнул к столь элементарному изложению для того, чтобы устранить тут всякую примесь посторонних определений. Основанием для действий над уравнениями указанного вида оказывается то, что степень внутри ее самой понимается, как отношение, как система определений отношения. Степень выяснилась выше, как число, поскольку она пришла к тому, что ее изменение определяется ею самою, что ее моменты, единица и определенное
