должно предпринять с полученным таким образом отношением, в чем его применение и употребление, или, на самом деле, для какой цели отыскиваются такие функции. Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес через нахождение таких отношений между конкретными предметами, которые сводятся к этим отвлеченным аналитическим отношениям. Относительно же приложимости оказывается ближайшим образом по самой природе вещей, не касаясь покуда еще самих случаев приложения, при помощи вышеуказан{192}ного вида моментов, степени, само собою следующее. Развитие степенных величин, через которое получаются функции их возвышения в степень, содержит в себе, не касаясь ближайшего определения, прежде всего вообще понижение величины на ближайшую низшую степень. Приложение этого действия имеет, стало быть, место к таким предметам, коим также свойственно такое различие степенных определений. Если мы рефлектируем, например, над пространственною определенностью, то мы находим, что она содержит в себе три измерения, которые мы для того, чтобы отличить их от отвлеченных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить конкретно, как линию, поверхность и целостное пространство; и поскольку они взяты в их простейших формах и в отношении к самоопределению, а тем самым к аналитическим протяжениям, мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое определенное количество, но уже в плоскости выступает качественное определение степени; более близкие (к прямой линии) модификации, например, что то же самое имеет место относительно кривой линии, мы можем, поскольку речь идет здесь о различии только вообще, оставить в стороне. Отсюда возникает потребность перехода от высшего степенного определения к низшему и наоборот, поскольку, например, линейные определения должны быть выведены из данных уравнений поверхностей и т. п. или наоборот. Далее движение, рассматриваемое в зависимости от отношения величины пройденного пространства и соответствующего протекшего времени, проявляется в различных определениях ложно равномерного, равномерно ускорительного, перемежающегося равномерно ускорительного и равномерно укоснительного — возвращающегося в себя — движения; поскольку эти различные виды движения выражаются в отношениях величины их моментов, пространства и времени, для них получаются уравнения, содержащие различные степенные определения, и если может оказаться надобность определить некоторый вид движения или те пространственные величины, с которыми он связан, посредством другого его вида, то это действие также приводит к переходу от степенной функции к высшей или низшей, чем она. Примерами этих двух предметов можно удовольствоваться для той цели, для которой они приведены.
Видимость случайности, представляемой дифференциальным исчислением в его приложениях, может быть упрощена уже сознанием природы той области, в которой имеет место это приложение, и своеобразных потребности и условии этого приложения. Но теперь является нужда узнать внутри самой этой области, между какими частями предметов математической задачи имеет место такое отношение, которое своеобразно положено дифференциальным исчислением. Должно уже предварительно заметить, что здесь нужно иметь в виду двоякое отношение. Действие понижения степени уравнения, рассматриваемое с точки зрения производных функций его переменных величин, дает результат, который в нем самом есть поистине уже не уравнение, но отношение; это отношение есть предмет собственно диф{193}ференциального исчисления. Ho тем самым, во-вторых, дается отношение высшего степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (к производной функции). Это второе отношение мы покуда оставим в стороне; оно окажется собственным предметом интегрального исчисления.
Рассмотрим прежде всего первое отношение и возьмем из так называемого приложения для решающего определения того момента, в котором заключается интерес действия, простейший пример кривой, определяемой уравнением второй степени. Как известно, через уравнение непосредственно дается в степенном определении отношение координат. Следствиями основного определения служат определения других прямых линий, связанных с координатами, касательной, подкасательной, нормальной и т. п. Но уравнения, связующие эти линии с координатами, суть линейные уравнения; те целые, как части которых определяют эти линии, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям есть вышеуказанный переход от первоначальной функции, т. е. от уравнения, к производной функции, которая есть отношение и притом отношение между известными, содержащимися в кривой линиями. Связь между отношениями этих линий и уравнением кривой и есть искомое.
Не безынтересно привести здесь только ту историческую справку, что первые исследователи умели решать эту задачу лишь совершенно эмпирически, не отдавая себе отчета в совершенно внешнем характере действия. Я ограничусь указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых (частей), отличающемуся ближайшим образом от особенностей дифференциального исчисления, он сообщает, «так как на том настаивают его друзья (lect. X)», свой способ определения касательных. Нужно прочесть у него самого, как решает он эту задачу, чтобы составить должное представление о совершенно внешнем правиле этого способа, совершенно в том же стиле, как излагалось ранее в учебниках арифметики тройное правило. Он чертит те маленькие линии, которые впоследствии были названы приращениями в характеристическом треугольнике кривой линии, и затем предписывает в виде простого правила отбросить, как излишние, члены, получающиеся путем развития уравнений, как степени или произведения этих приращений (etenim isti termini nihilum valebunt), a также и те члены, которые содержат определенные величины лишь из первоначального уравнения (то, что впоследствии достигалось вычитанием первоначального уравнения из него же с приращениями), и напоследок вставить вместо приращения ординаты самую ординату и вместо приращение абсциссы — подкасательную. Невозможно, если позволительно так выразиться, изложить способ более педантично; это подстановление основано на принимаемой обычным методом дифференциального исчисления для определения касательной пропорциональности приращений ординаты и абсциссы с ординатою и под {194}касательною; в правиле Барроу это допущение является во всей своей наивной наготе. Простой способ определения подкасательной был уже найден; способы Роберваля и Ферма сводятся к подобному же; метод последнего находить наибольшие и наименьшие значения функций исходит из того же основания и того же предела. Математическою страстью того времени было изобретать так называемые методы, т. е. правила этого рода, и притом держат их в тайне, что было не только легко, но даже в известном отношении нужно и нужно именно потому, что было легко, именно потому, что изобретатели находили лишь внешнее эмпирическое правило, а не метод, т. е. не нечто, выведенное из признанных начал. Такие так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени, а также и Ньютон, и последний принял их непосредственно от своего учителя; они проложили новые пути в науке через обобщение их формы и приложимости, но при этом чувствовали потребность освободить прием от вида совершенно внешнего правила и дать ему потребное оправдание.
При ближайшем анализе метода истинный ход действия оказывается таков. Во- первых, степенные определения (само собою разумеется переменных величин), содержащиеся в уравнении, приводятся к их первым производным функциям. Тем самым изменяется значение членов уравнения; уравнения уже более не остается, но возникает лишь отношение между первою производною функциею одной переменной величины и такой же функциею другой; вместо рх=у2 получается р:2у, вместо 2ах — х2=у2 получается (а —
