N, M, E являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение — пятиугольник, разбивающийся на треугольник EKG и трапецию EGNM. Если KR — высота треугольника, а Q — точка пересечения KR и EG, то площадь пятиугольника равна
?KQ · EG + ?(EG + MN)QR.
Так как KL || AC1, то LC1 = ?A1С1 и MN = ?В1D1 = ?EG. B свою очередь 
Поэтому
Чтобы вычислить отрезки KQ и QR, спроецируем KR на плоскость основания. Точка Q спроецируется в P, а точка R — в H. Обозначим через S и T проекции точек K и Q на отрезки QP и RH соответственно.
По теореме о трех перпендикулярах АР ? BD. Сравнивая площадь треугольника ADB, получим АР · BD = ab, а так как 
то
Из подобия треугольников легко получим
AK = ?с, RT = ?с, QS = ?с.
Поскольку MN = ?В1D1, то QR = ?KQ. Из треугольника KQS находим
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:
S = ? KQ · EG + ? · 3/2EG · ?KQ = 7/8EG · KQ.
Ответ. 
4.10. Чтобы построить тень куба, достаточно построить тень, отбрасываемую верхним основанием. По условию источник света расположен на высоте 2h. Из подобия треугольников, получающихся при построении тени, следует, что тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат A2В2С< sub>2D2 (см. рис. P.4.10; также рис. 1.4.10 на с. 132).
Каждая сторона этого квадрата параллельна соответствующей стороне основания куба и равна 2h. Отрезок OO2, соединяющий центры квадратов ABCD и A2В2С< sub>2D2, при вращении источника света не изменяется и равен R. Чтобы получить тень куба, нужно на рис. P.4.10, а построить «внешние» отрезки, соединяющие соответственные вершины квадрата A1В2С< sub>2D2 с вершинами нижнего основания куба.
Задача становится плоской. Нужно выяснить, когда площадь полученного многоугольника будет максимальной, если точка О2 вращается вокруг точки О, а стороны квадрата A2В2С< sub>2D2 остаются параллельными сторонам квадрата ABCD.
B двух случаях (см. рис. P.4.10, б и в) площадь будет достигать максимума по сравнению с близкими положениями точки О2. B самом деле, если точка О2 немного сместится из положения, изображенного на рис. P.4.10, б, вправо или влево по окружности радиуса R, то площадь тени уменьшится, так как уменьшится площадь трапеции АDD2A2: y этой трапеции основания AD и А2D2 не изменятся, а высота станет меньше. То же самое произойдет и в случае, изображенном на рис. P.4.10, в. Здесь уменьшится площадь трапеции BDD2В2.
Остается сравнить площади этих двух фигур.
Площадь первой равна
4h? + 3h/2 (R ? h/2),
площадь второй
3v2/2Rh + 5/2h?.
При R > 2h вторая площадь больше, что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
4.11. Острый угол ? между плоскостью основания куба и плоскостью ? не изменится при параллельных переносах куба и при вращении его вокруг оси, перпендикулярной к плоскости ?.
Тень, отбрасываемая кубом, равна тени от заштрихованной на рис. P.4.11 фигуры, которая составлена из двух треугольников A1B1D< sub>1 и BCD и диагонального сечения B1D1DB. Площадь тени равна
2 · a?/2 cos ? + a?v2 cos (?/2 ? ?) = a?(cos ? + v2 sin ?).
Максимум этого выражения равен а? v3 и достигается при ? = acrtg v2. Таким образом, тень, отбрасываемая кубом, имеет максимальную площадь, равную а? v3, когда шесть граней куба образуют с плоскостью ? одинаковые углы.
