Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Из этого равенства следует, что либо AM = 0 (точки А и M совпадают), либо AM = 2МВ (точка M совпадает с точкой С).

Тем самым доказательство полностью завершено.

5.4. B треугольниках АВМ и ВМС при любом их расположении сторона ВМ общая. Если выбрать ее в качестве основания, то для равенства площадей этих треугольников необходимо и достаточно равенство высот, т. е. площади треугольников равны тогда и только тогда, когда прямая ВМ отстоит от точек А и С на одинаковое расстояние. Так как точки А и С зафиксированы, то задача состоит в нахождении всех прямых равноудаленных от А и С.

Если прямая ВМ пересекает отрезок AC (рис. P.5.4, а), то из равенства высот h₁ и h₂ следует, что треугольники АВF и CВF равновелики. Поскольку они имеют общую высоту, соответствующую вершине B, их основания АF и CF равны, и прямая, равноотстоящая от А и С, проходит в этом случае через середину отрезка AC.

Если же прямая ВМ не пересекает отрезок AC (рис. P.5.4, б), то из равенства высот h₁ и h₂ следует, что ВМ || AC.

Остается убедиться, что любая точка прямых ВМ, изображенных на рис. P.5.4, а и P. 5.4, б, удовлетворяет условию задачи. Следовательно, прямые ВМ и BF (рис. P.5.4, в) образуют искомое геометрическое место точек.

5.5. Рассмотрим вначале случай, когда прямые AB и CD, на которых лежат данные отрезки, пересекаются в некоторой точке N (рис. P.5.5, а). Пусть точка M принадлежит искомому геометрическому месту. Площади треугольников АВМ и CDM не изменятся, если каждый из отрезков AB и CD двигать по несущей его прямой. Переместим отрезки так, чтобы они имели своим общим концом точку N. Отрезок AB перейдет в NB?, а отрезок CD — в ND?. Поскольку пары треугольников АВМ, NB?M и CDM, ND?M равновелики, то искомое геометрическое место точек можно характеризовать тем свойством, что площади треугольников NB?M и ND ?M равны.

Итак, задача свелась к предыдущей (см. задачу 5.4): для треугольника B?ND? найти геометрическое место точек M таких, что площади треугольников NB ?M и ND?M равны. Мы уже доказали, что это — две прямые NK и NL, первая из которых проходит через середину B?D?, а вторая параллельна B?D?.

Рассмотрим теперь случай, когда прямые AB и CD параллельны. Сместим отрезок AB по несущей его прямой так, чтобы его центр совпал с центром CD (рис. P.5.5, б). Если точка M (на рисунке она не изображена) принадлежит искомому геометрическому месту точек, то отношение ее расстояния до прямых AB и CD есть отношение высот в треугольниках АВМ и CDM. Площади этих треугольников будут равны тогда и только тогда, когда отношение расстояний от точки M до AB и CD будет равно отношению отрезков CD и AB. Таким образом, искомое геометрическое место есть две параллельные прямые, расстояния которых до CD и AB относятся как AB : CD.

Чтобы построить это геометрическое место точек, сместим отрезок AB по несущей его прямой так, чтобы его центр и центр E отрезка CD оказались на общем перпендикуляре к AB и CD (см. рис. P.5.5, б). Прямые DA? и CB? пересекутся в точке P, которая делит EF в отношении PF : РЕ = AB : CD, а прямые DB? и СА? пересекутся в точке Q, для которой QF : QE = AB : CD. Остается на прямой EF (см. рис. P.5.5, б) построить отрезки EP? = FP и EQ? = FQ. Прямые P ?K и Q?L, проведенные через P? и Q? параллельно AB и CD, образуют искомое геометрическое место точек.

5.6. Для данного куба с ребром а найдем сначала геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагональной прямой верхнего основания, а другой — на не параллельной ей диагональной прямой нижнего основания. Как мы увидим, замена диагоналей на диагональные прямые позволяет упростить задачу.

Если MN — отрезок длины l, о котором идет речь в условии задачи, а расстояние между плоскостями верхнего и нижнего оснований равно а, то проекция MK отрезка MN на плоскость нижнего основания равна  (рис. P.5.6, а). Проекция G середины E отрезка MN делит MK пополам, поэтому  Треугольник MKO прямоугольный, а GO — его медиана. Следовательно,  Тем самым мы установили, что для фиксированного l точка G всегда отстоит от точки О на одинаковом расстоянии, равном , т. е. лежит на окружности радиусом  с центром в точке О.

Итак, если точка E принадлежит искомому геометрическому месту, то она лежит в плоскости, параллельной основаниям куба и проходящей через середину F отрезка OO₁, и принадлежит окружности радиусом  с центром в точке F.

Для той измененной задачи, которую мы рассматриваем, верно и обратное утверждение: любую