Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

пересечения с QP в точке E и A₁D₁ до пересечения с QR в точке F. Обе точки E и F лежат в плоскости верхнего основания, а EF — след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку MK.

Продолжим DC до пересечения с PR в точке G и соединим K с G. На ребре СС₁ получим точку L, принадлежащую сечению.

Из подобия треугольников QА₁Е и QAP следует, что А₁Е = А₁Q = ^3a/₂, где а — ребро куба.

Следовательно, В₁Е = ^а/₂. Аналогично D₁F = ^а/₂ и СG = ^а/₂, откуда следует, что МС₁ = KC₁ = LC₁ = ^а/₂. Объем пирамиды MC₁LK равен а? : 48.

Ответ. 1 : 47.

4.7. Пусть MN = а (рис. P.4.7).

Тогда aSK = 2Q. Выразим искомую площадь через а и SK. Отрезок AB — средняя линия трапеции IМNJ, а отрезок DC — средняя линия треугольника SIJ. Поэтому

AB = ³/₂а, DC = а.

Из подобия треугольников SOK и HOG следует, что HG = ?SK. Осталось определить HL и EF:

HL = GL ? GH = ?SK ? ?SK = ?SK;

из подобных треугольников FSL и RSP

^EF/_a = ^SL/_SP = ^{KG< /sup>}/_KP = ?, т. е. EF = ^а/₄.

Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна

?(AB + CD)GH + ? (CD + FE)HL = ? (^5a/₄GH + ⁵/₄aHL) = ^5a/₄(?SK + ¹/₈SK) = ^25a/₃₂SK.

Так как aSK = 2Q, то площадь сечения можно выразить через Q.

Ответ. ²⁵/₁₆Q.

4.8. Спроецируем С₁С на плоскость основания призмы (рис. P.4.8). Отрезок EK — средняя линия в треугольнике С₁CF.

Через точки K и D проведем прямую, которая пересечет AB в точке M. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Поскольку KC = ?FC, а DO = ?OB (ABC — правильный треугольник) и FC = OB (треугольники C₁FC и В₁ОВ равны), то KC = DO. Покажем, что KC || DO. B самом деле, так как OB ? AC, то и ВВ₁ ? AC. Следовательно, CC₁ ? AC, а значит, и KC ? AC. Итак, KC и DO параллельны, а фигура KCOD — параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок KM параллелен CO, а потому перпендикулярен к AB. Отсюда следует, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Остаются простые вычисления:

Площадь треугольника ADB можно найти двумя способами: ?DM · AB = ? DВ · AD, т. е. bDM = ^b?v3/₄, откуда MD = ^bv3/₄. Теперь найдем ЕМ:

Ответ.

4.9. B диагональной плоскости ВВ₁D₁D (рис. P.4.9) проведем через точку F отрезок EG, параллельный ВD.

B другой диагональной плоскости AA₁С₁С проведем через точку F отрезок KL || АС₁. B плоскости верхнего основания построим отрезок MN || В₁D₁ и проходящий через точку L. Точки K, G,