Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

KGL.

Треугольники ЕВ₁М, FC₁G и GD₁L равны. Следовательно, D₁L = В₁F = ?, MF = FG = GL. С помощью треугольников МА₁L и АА₁L можно найти стороны треугольника AML:

его высоту

и его площадь

Треугольники AML и KGL подобны, так как GK и AM параллельны (они получены в результате пересечения двух параллельных граней куба плоскостью сечения), с коэффициентом подобия ? (мы доказали раньше, что 3GL = ML). Следовательно, площадь треугольника KGL равна ¹/₉ площади треугольника AML, а площадь сечения AEFGK равна ⁷/₉ площади AML.

Ответ.

4.3. Пусть K — точка пересечения AO₁ и C₁C (рис. P.4.3). Соединим K с центром Q боковой грани BB₁C₁C и получим сечение куба. Так как Q — центр симметрии квадрата B₁C₁CB, то B₁E = FC. Проведем O₁C₁ и AC. Отрезок O₁C₁ — средняя линия в треугольнике AKC, и, следовательно, KC₁ = C₁C.

Треугольники KFC и KEC₁ подобны с коэффициентом подобия 2. Поэтому FC = 2EC₁. Так как FC = В₁Е, то отношение отрезков B₁E к ЕС₁ равно 2.

Ответ. 2.

4.4. Пусть высота данной пирамиды h, сторона основания а. Найдем объем фигуры, лежащей под сечением BEFG (рис. P.4.4, а), как разность объемов пирамид EBCM и FGDM.

Объем первой пирамиды равен

?^h/₂^3a?/ ₂ = ?(?ha?) = ?v,

где v — объем данной пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды FGDM, сделаем чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC (рис. P.4.4, б). Проведем EL параллельно SD. Так как E — середина SC, то DL = ?DC = ^a/₂. Из подобия треугольников MEL и MFD найдем

^FD/_EL = ^MD/_ML = ^2a/_2,5a = ⁴/₅.

Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что высота пирамиды FGDM равна ⁴/₅ высоты EBCM, т. е. ^4h/₁₀.

Из подобия треугольников MGD и MBC (см. рис. P.4.4, а) найдем GD = ^2a/₃. Это означает, что объем пирамиды FGDM равен

?^4h/₁₀^2a?/3 = ⁴/₁₅(?ha?) = ⁴/₁₅v,

Таким образом, объем фигуры, лежащей под сечением, равен

?v ? ⁴/₁₅v = ²⁹/₆₀v.

Ответ. ²⁹/₃₁.

4.5. Сечение AMND и диагональная плоскость ASC разбивают данную пирамиду на четыре части. Так как высота пирамиды NACD (рис. P.4.5) вдвое меньше высоты данной пирамиды, а площадь основания вдвое меньше площади основания ABCD, то ее объем равен ^v/₄, где v — объем данной пирамиды.

Рассмотрим пирамиды ASBC и ASMN с общей вершиной A. Их высоты равны, а площадь основания первой в четыре раза больше. Следовательно, их объемы относятся, как 4 : 1. Таким образом, на долю пирамиды ABMNC приходится ^3v/₈.

Теперь можно найти, какую часть объема пирамиды составляет фигура, расположенная под сечением:

?v + ³/₈v = ⁵/₈v.

Ответ. 5 : 3.

4.6. Соединим точки P, Q и R с вершиной A (рис. Р.4.6), после чего соединим их между собой.

Продолжим A₁B₁ до