Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

3.54. Пусть O₁ — центр шара, описанного около пирамиды SABC, а O — центр правильного треугольника ABC, лежащего в ее основании. Тогда O₁O — перпендикуляр к плоскости основания (рис. P.3.54).

(По условию точка O₁ равноудалена от A, B и C.) Обозначим длину отрезка O₁O через x, а длину отрезка OP через y. Так как AO₁ = SO₁ = R, а AO = ⁶/_v3 = 2v3, то по теореме Пифагора для треугольника AOO₁ : x? + AO? = R?, т. е. x? + 12 = R?. Соотношение для y найдем из треугольника SO₁D, где O₁D = y, SO₁ = R. Тогда SD? = R? ? y?. Но SD есть либо 4 ? x, либо 4 + x в зависимости от расположения O₁. Поэтому найдем x: x = |SP ? SD|, что охватывает сразу два возможных случая и приводит к уравнению

Отсюда

Но x? = R? ? 12, т. е.

Тогда  а после возведения в квадрат и приведения подобных членов: 64R? = 28? + 8у? + y⁴ или 64R? = (y? + 4)? + (28? ? 16).

Поскольку

^{28? ? 16}/₆₄ = ^{4? · 7? ? 4?}/_{4? · 4} = ^{7? ? 1}/₄ = ⁴⁸/₄ = 12,

имеем R? = ^{(y? + 4)?}/₆₄ + 12. Это выражение при x = 0 достигает своего минимального значения R? = ^4?/₆₄ + 12 = 12?  = ⁴⁹/₄, т.е. R = ⁷/₂. 

Ответ. 3,5.

Замечание. Условие задачи, в силу которого основание P высоты SP пирамиды SABC принадлежит ее основанию ABC, при решении не использовано. Это условие оказалось лишним. Следовательно, в постановке задачи имеется неточность. Мы пытались использовать это условие, когда в первом указании строили прямую призму, верхнему основанию которой должна принадлежать вершина S. Эти ограничения оказались невостребованными при решении задачи. Задача реально предлагалась на вступительных экзаменах.

Глава 4 Геометрические задачи на проекционном чертеже

4.1. Проведем AE до пересечения с ОС в точке F (рис. P.4.1, а). Точка F лежит в плоскости грани DD₁C₁C , в которой лежит и точка О, принадлежащая сечению. Проведем FO до пересечения с D₁D в точке N. Таким образом, сечение, о котором идет речь в условии, построено; это ANME (см. рис. P.4.1, а).

Обозначим ребро куба через а и вычислим объем фигуры, лежащей под сечением, как разность объемов двух пирамид: NAFD и MEFC.

Отрезок EC — средняя линия в треугольнике AFD, следовательно, CF = СО = а.

Вычертим отдельно треугольник BFD и проведем OK || ND (рис. P.4.1, б). Так как О — центр грани куба, то OK = ^a/₂, DK = KC = ^а/₂. Из подобия образовавшихся треугольников находим

MC = ^а/₃, ND = 2MC = ^2а/₃.

Так как треугольники EFC и EAB равны (см. рис. P.4.1, а), то площадь треугольника AFD равна а?, а площадь треугольника EFC равна ^a?/₄. Теперь можно вычислить объем фигуры, лежащей под сечением ANME:

?ND · a? ? ?MC · ^a?/₄ = ?^2a/₃a? ? ?^a/₃^a?/_{4 = ^7a?/36,}

и найти искомое отношение объемов.

Ответ. 29 : 7.

4.2. Проведем прямую FG, которая пересечет А₁В₁ и А₁D₁ в точках M и L соответственно (рис. P.4.2). Соединив точки M и А и точки L и А, получим еще две точки E и K, принадлежащие сечению.

Площадь сечения AEFGK вычислим как разность площади треугольника AML и удвоенной площади треугольника