Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Геометрические места

5.1. Из любой точки M (рис. P.5.1) отрезок ON виден под прямым углом. Следовательно, искомое геометрическое место точек — окружность, построенная на отрезке ON, как на диаметре.

5.2. Пусть точка M принадлежит искомому геометрическому месту точек. По теореме косинусов для треугольника AMB (рис. P.5.2) имеем

AB? = AM? + BM? ? 2AM · BM cos ?.

Так как AM · BM cos ? = ?AB?, то

AM? + BM? = ⁵/₂AB?.  (1)

Если МС — медиана треугольника АМВ, то

4MC? = 2АМ? + 2ВМ? ? АВ?.

Воспользуемся соотношением (1) и заменим 2(АМ? + ВМ?) на 5АВ?:

4МС? = 5АВ? ? АВ?, т. е. МС = AB.

Итак, искомое геометрическое место точек — окружность радиусом AB с центром в середине AB.

5.3. Докажем вначале, что если точка M лежит на рассматриваемой окружности, то выполняется сформулированное в условии задачи соотношение. Обозначим центр окружности буквой O и выберем на окружности произвольную точку M, отличную от А и С (рис. P.5.3).

Применим к стороне МВ треугольника АМВ теорему косинусов:

МВ? = АМ? + АВ? ? 2АМ · AB cos А.

Из треугольника АMO находим AM = 2АO cos А, откуда cos А = ^AM/_2AO. По условию АO = ^AB/₃. Подставляя cos А = ³/₂^AM/_AB в выражение для МВ?, получим МВ? = АМ? + АВ? ? ЗАМ?, т. е. 2АМ? + МВ? = АВ?, что и требовалось проверить.

Простой проверкой легко убедиться, что это соотношение справедливо, если M совпадает с А и если M совпадает с С. B первом случае AM = 0, а МВ = AB и равенство становится очевидным AB? = АВ?. Во втором случае AM = AC = ?AB, МВ = СВ = ?AB и

2(?AB)? + (?АВ)? = АВ?.

Перейдем к доказательству обратного утверждения.

Докажем, что если в треугольнике АМВ

3АO = AB и 2АМ? + МВ? = АВ?,

то АO = MO, т. е. точка M лежит на окружности радиусом АO. Начнем со случая, когда M не лежит на AB. Предыдущие рассуждения подсказывают нам, что полезно воспользоваться не только данным соотношением, но и теоремой косинусов для треугольника АМВ:

МВ? = АМ? + АВ? ? 2АМ · AB cos А.

Так как мы не знаем, чему равен cos А, то постараемся его исключить. Запишем теорему косинусов для стороны MO треугольника АMO (учтем при этом, что 3АO = AB):

MO? = АМ? + ¹/₉АВ? ? ?AM · AB cos А.

Умножив последнее равенство на ?3 и сложив с выражением для МВ?, получим

МВ? ? 3MO? = ?2АМ? + ?АВ?.

Заменяя МВ? + 2АМ? на АВ?, придем к равенству

АВ? = 3MO? + ³/₂АВ?, т. е. АВ? = 9MO?,

откуда AB = 3MO и MO = АO, что и требовалось показать.

Если теперь точка M лежит на прямой AB, то она может располагаться либо на отрезке AB (включая его концы), либо вне этого отрезка.

Пусть точка M расположена вне отрезка AB. Тогда или AM + AB = МВ, или МВ + AB = AM. B первом случае получаем AB = МВ ? AM, а после возведения в квадрат: АВ? = АМ? + МВ? ? 2АМ · МВ. Заменяя АВ? на 2АМ? + МВ?, придем к равенству AM = ?2МВ, которое абсурдно. Аналогично рассматривается второй случай.

Пусть теперь точка M расположена на отрезке AB. Тогда AM + МВ = AB, что после возведения в квадрат и замены АВ? на 2АM? + МВ? приводит к равенству

АМ? = 2МВ · AM.