Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,  не имеет смысла, в то время как .

По определению

По определению

?⁰ = 1 при а ? 0.

Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.

Таким образом, .

Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:

Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.

Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

7.1. Упростите выражение

7.2. Упростите выражение

7.3. Упростите выражение

После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x.

7.4. Упростите выражение

7.5. Упростите выражение

где .

7.6. Вычислите значения выражения

7.7. Преобразуйте выражение

так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.

7.8. Разложите на линейные относительно x, у, z, u множители выражение

(xy + zu)(x? ? y? + z? ? u?) + (xz + yu)(x? + у? ? z? ? u?).

7.9. Докажите, что

7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то

7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство

7.12. Докажите, что

для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.

7.13. Докажите, что из условия

следует

(а + b + с)? = 27аbс.

7.14. Квадратный трехчлен 24х? + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Глава 8 Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения

Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P (x) на многочлен Q(x), если равенство

P(x) = Q (x) · S(x) + R(x)

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х₁, х₂, ..., х_n уравнения

а₀хⁿ + a₁x^{n ? 1} + ... + а_{n ? 1}x + а_n = 0

имеют место формулы:

^,

^,

.

Для уравнения a₀xⁿ + a₁x^{n ? 1} + ... + а_n = 0 с целыми коэффициентами а₀, а₁, ... , а_n верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень ^p/_q , то p числитель является делителем