Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

удовлетворяющих условию 2АМ? + МВ? = АВ?, есть окружность с диаметром AC, где точка С лежит на отрезке AB, причем ^AC/_BC = 2.

5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.

5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.

5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.

Глава 6 Свойства чисел. Делимость

6.1. Докажите, что р? ? 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

6.2. Докажите, что n? + 2n при любом натуральном n делится на 3.

6.3. Докажите, что число 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ делится на 49 и 181.

6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?

6.5. Делится ли число  на 81?

6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n⁴ + 4 является простым числом.

6.7. Докажите, что является целым числом при любом четном n.

6.8. При каких целых значениях x дробь  сократима?

6.9. Найдите все пятизначные числа вида  (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.

6.10. Найдите трехзначное число  (а, b, с — его цифры), если четырехзначное число  в три раза больше четырехзначного числа .

6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.

6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.

6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения

3x? ? 16xy ? 35y? + 17 = 0.

6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению

x? = 4y? + 20 025?

6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x ? 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Глава 7 Алгебраические преобразования

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам

1) а < x < b;

2) а ? x ? b;

3) а ? x < b;

4) а < x ? b;

5) x > а;

6) x < а;

7) x ? а;

8) x ? а,

где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +?); (??, а); [а, +?); (??, а].

Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.

По определению

Для арифметического корня имеет место формула

vа? = |а|.

Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде

(а + b)? = а? + b? + 3аb(а + b);

(а ? b)? = а? ? b? ? 3аb(а ? b).

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).

По определению

где а ? 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.