Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

прямыми, пересечен плоскостью. Докажите, что полученный в сечении треугольник остроугольный.

3.28. Найдите объем тетраэдра ABCD, если BC = AD = а, CA = DB = b, AB = DC = с.

3.29. В пирамиде ABCD объем V = 48, AB = 12, CD = 8. Расстояние между AB и CD равно 6. Найдите угол между ребрами AB и CD.

3.30. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ проведена плоскость A₁BC. В образовавшуюся над этой плоскостью часть призмы вписан шар радиусом R. Найдите объем призмы.

3.31. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра.

3.32. В прямоугольный параллелепипед с ребрами а, b и с помещен куб так, что вершина куба O совпадает с вершиной параллелепипеда. Найдите угол между диагоналями куба и параллелепипеда, проведенными через вершину O.

3.33. Сторона треугольника равна а. Разность прилегающих к ней углов равна ?. На треугольнике, как на основании, построена прямая призма. Через ее ребро, противоположное стороне а, проведено сечение площади S, делящее двугранный угол пополам. Найдите объем призмы.

3.34. Найдите расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а.

3.35. Ребро куба равно а. Сфера с центром в точке O делит три ребра куба, сходящихся в вершине А, пополам. Из одной такой точки деления K опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину А. Угол между этим перпендикуляром и радиусом сферы ОК делится ребром куба пополам. Найдите радиус сферы.

3.36. Одна из сторон плоского четырехугольника равна ^v5/₂. Его проекции на грани прямого двугранного угла — квадраты со стороной 1. Докажите, что четырехугольник лежит в плоскости, параллельной биссекторной плоскости двугранного угла, и найдите его периметр.

3.37. Докажите, что объем правильной пирамиды меньше куба ее бокового ребра.

3.38. Два шара, отношение радиусов которых равно p, касаются друг друга внешним образом. Они помещены внутри конуса так, что центры их находятся на оси конуса; при этом первый шар касается боковой поверхности конуса, а второй — боковой поверхности и основания конуса. Найдите отношение суммы площадей поверхностей этих шаров к площади полной поверхности конуса.

3.39. Сфера вписана в прямой круговой конус с углом ? при вершине осевого сечения. В эту сферу вписан конус с таким же углом при вершине осевого сечения. Найдите угол ?, если отношение объема первого конуса к объему второго конуса равно а. При каких значениях а задача имеет решение?

3.40. Дана правильная треугольная пирамида SABC (S — вершина) со стороной основания а и боковым ребром b. Одна сфера с центром в точке O₁ касается плоскостей SAB и SAC в точках B и C, а другая сфера с центром в точке О₂ касается плоскостей SAC и SBC в точках A и B. Найдите объем пирамиды SO₁BO₂.

3.41. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найдите объем конуса, если радиусы шаров равны r.

3.42. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной а. Ребро SD = h перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды лежит цилиндр так, что окружность одного его основания вписана в треугольник SCD, а окружность другого касается грани SAB. Найдите высоту цилиндра.

3.43. В конус вписан куб так, что одно его ребро лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, а центр куба лежит на высоте конуса. Найдите отношение объема конуса к объему куба.

3.44. В правильную усеченную треугольную пирамиду вписан шар радиусом r. Боковое ребро пирамиды равно стороне меньшего основания. Найдите объем пирамиды.

3.45. Два шара радиусом r и один шар радиусом R (R > r) лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом. Найдите радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.

3.46. Два равных шара касаются друг друга и граней двугранного угла. Третий шар меньшего радиуса также касается граней этого двугранного угла и обоих данных шаров. Дано отношение m радиуса меньшего шара к радиусу одного из равных шаров. Найдите величину ? двугранного угла. Каким должно быть m, чтобы задача имела решение?

3.47. На плоскости P стоит равносторонний конус, высота которого 10 см. Каждый из трех равных шаров, лежащих на плоскости P вне конуса, касается двух других шаров и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шаров.

3.48. На плоскости уложены n равных конусов, имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой плоскости. Каждый конус касается двух других конусов. Найдите угол при вершине конуса в осевом сечении.

3.49. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. На ребре AB, как на диаметре, построена сфера. Найдите радиус сферы, вписанной в трехгранный угол A тетраэдра, если известно, что она касается построенной сферы и ее центр лежит на высоте тетраэдра.

3.50. Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной а, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислите объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен ?.

3.51. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного в него шара. Определите отношение объема конуса к объему шара.

3.52. В основании произвольной (не обязательно прямой) призмы лежит правильный треугольник. Высота призмы равна H. Площади двух боковых граней равны S₁, а площадь третьей равна S₂. Найдите сторону основания. Исследуйте решение.

3.53. Найдите способ, позволяющий вписать в куб сразу четыре пирамиды: две треугольные и две четырехугольные — так, чтобы их суммарный объем был наибольшим.