Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Поскольку QQ₁ вдвое больше ребра куба, то сторона этого квадрата будет равна 2 а (докажите).

Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень, отбрасываемую всем верхним основанием, а затем и всем кубом (см. рис. 4.5).

4.1. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁. Через вершину А, середину E ребра BC и центр O грани СС₁D₁D проходит секущая плоскость. Найдите отношение, в котором она делит объем куба.

4.2. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁ с ребром, равным единице. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины F и G ребер В₁С₁ и С₁D₁.

4.3. В кубе ABCDА₁В₁С₁D₁ проведена плоскость через вершину А, центр O₁ верхнего основания А₁В₁С< sub>1D₁ и центр Q боковой грани ВВ₁С₁С. Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В₁С₁. Найдите отношение В₁E к ЕС₁.

4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2CD (MC = 3CD). Через точку M, вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.

4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки А, D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4.6. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁. На продолжении ребер AB, АА₁, AD отложены соответственно отрезки ВР, А₁Q, DR длины 1,5АВ. Через точки P, Q, R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?

4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

4.8. В треугольной призме ABCА₁В₁С₁ боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В₁ и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС₁.

4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁В₁С₁D₁ (ABCD и А₁В₁С< sub>1D₁ — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА₁ = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O₁ — центр основания А₁В₁С< sub>1D₁, F — точка, делящая отрезок O₁O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС₁ и диагонали ВD основания.

4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.

4.11. На плоскость ? под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.

Глава 5 Геометрические места

5.1. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.

5.2. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Найдите геометрическое место точек M, для каждой из которых AM · ВМ · cos ? AMB = ?АВ?.

5.3. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Докажите, что геометрическое место точек M,