Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

«выколотой» точкой x = ?1.

Для выражения log_у vx найти область определения уже несколько сложнее. Во-первых, из числа x извлекается квадратный корень. Эта операция возможна, если x ? 0. Чтобы затем можно было найти логарифм от vx, необходимо vx > 0. Оба условия выполняются при x > 0. В основании логарифма может стоять лишь положительное число, отличное от единицы. Таким образом, получаем область определения: x > 0, у > 0, у ? 1.

Два математических выражения называются тождественными, если

1) их области определения совпадают;

2) они принимают одинаковые числовые значения при подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений входящих в него букв, произвольно выбранного из области определения.

Равенство, в котором правая и левая части являются тождественными выражениями, называется тождеством.

Для обозначения тождественного равенства иногда используется символ ?.

Примеры тождеств: (а ? b)? = а? ? 2аb + b?, sin? x + cos? x = 1,

Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже является тождеством. В самом деле, область определения левой части не содержит ни одной точки, область определения правой части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку области определения правой и левой частей — пустые множества, то требования 1) и 2) в определении тождества удовлетворяются. Равенство , как мы видели, истинно при всех x, кроме x = ?1. Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено. Однако нарушение происходит только в одной точке.

Введем понятие неабсолютного тождества.

Пусть в нашем распоряжении есть два математических выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U их общую часть. Если на множестве U значения обоих математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно тождественны, а соответствующее равенство называют неабсолютным тождеством.

Характерным примером неабсолютного тождества является соотношение

lg ху = lg x + lg у.

Область определения правой части: x > 0, у > 0, т. е. все точки плоскости, лежащие внутри I квадранта. Область определения левой части: x > 0, у > 0; x < 0, у < 0; это уже будут внутренние точки I и III квадрантов. Общая часть областей определения: x > 0, у > 0. На этой общей части приведенное соотношение превращается в истинное равенство.

Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.

Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.

Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество.

Упражнения[2]

Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного вами вывода.

1. sin? x + cos? x = 1,

2. tg x = ^{sin x}/_{cos x}

3. tg x = ¹/_{ctg x}

4. sec x = ¹/_{cos x}

5. sec x cos x = 1,

6. sec x ? ¹/_{cos x} = 0,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. lg xy = lg |x| + lg | y|,

15. lg x? = 2 lg x,

16. lg x? = 2 lg |x|.

Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы говорим, что равенство

аx? + bx + с = 0     (1)

является уравнением относительно буквы x, то подразумеваем, что для фиксированных а, b и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x, обращающие (1) в истинное числовое равенство.

Другими словами, предполагают, что для букв а, b и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x, которой обозначено неизвестное, остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.

Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.

Например, уравнение

x^2x = 1       (2)

имеет корни x₁ = 1 и x₂ = ?1, в то время как функция x^2x определена только при положительных x.

Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = ?1 слева получим выражение (?1)^?2, которое имеет смысл и равно 1.

Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.