Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

свободного члена а_n, а знаменатель q — делителем коэффициента а₀.

В частности, если а₀ = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена а_n.

8.1. Решите уравнение

(x ? 4,5)⁴ + (x ? 5,5)⁴ = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x ? 1)(3x + 2) (x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x? ? 3у? = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x? ? 6xу + 13у? = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x⁹⁹ + x? + 10x + 5 на многочлен x? + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x?у? + у? ? 6x? ? 12 = 0.

8.7. В уравнении

x⁴ + аx? + bx? + 6x + 2 = 0

один из корней равен v3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8. При каких значениях а оба корня уравнения

x? ? (а + 1)x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения

x? + аx? + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10. Известно, что уравнение x? + px + q = 0 имеет корни ?₁, ?₂, ?₃. Выразите сумму ?₁? + ?₂? + ?₃? через p и q.

8.11. При каких а и ? трехчлен х? + ax + 1 делится на двучлен x ? ? без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x ? 2 и x ? 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x ? 2)(x ? 3).

8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х⁴ + 1 делится на x? + рх + q.

8.14. Докажите, что многочлен

x?^{n + 1} ? (2n + 1)х^{n + 1} + (2n + 1)хⁿ ? 1,

где n — натуральное число, делится на (x ? 1) ?.

8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен

6х⁴ ? 7х? + рх? + 3х + 2

делился без остатка на x? ? x + q.

Глава 9 Алгебраические уравнения и системы

Равенства. Тождества. Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство.

Примеры равенств:

а? + b? = с?, 3 = 3, 3 = 5,

sin? x + cos? x = 1, , sin x = 3.

Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.

Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а? + b? = с? при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin? x + cos? x = 1 истинно при всех действительных значениях x, а равенство sin x = 3 всегда ложно.

Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно) перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство  ложно при , где k — любое целое число, так как для четных k не существует ctg x, а для нечетных k не существует tg x. Равенство ложно при x = ?1, так как его левая часть теряет смысл при этом значении x (обратите внимание, что правая часть существует всегда). Обе части равенства sin x = 3 всегда имеют смысл, однако это равенство всегда ложно.

Для любого математического выражения можно указать множество систем (наборов) значений входящих в него букв, при которых это выражение существует, т. е. принимает некоторое числовое значение. Такое множество мы будем называть областью определения (областью существования) рассматриваемого математического выражения.

Для выражения  областью определения является числовая ось с