Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2k? + ? ± arctg v8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.

Ответ. 2k? + arctg v8; (2k + 1)? ? arctg v8.

16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:

(?)^x = ^{4k + 1}/₂₀.

Так как x > 0, то (?)^x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 < ^{4k + 1}/₂₀ < 1, откуда 0 ? k ? 4.

Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.

Ответ. log₂ ²⁰/_{4k + 1}, где k = 0, 1, 2, 3, 4.

16.10. Решаем квадратное уравнение

Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если ?1 ? v5 ? m ? ?1 + v5.

Делаем следующий шаг:

Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы

После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе

y которой два интервала решений:

?1 ? v5 ? m ? ?3,    1 ? m ? ?1 + v5.

Ответ. При ?1 ? v5 ? m ? ?1 + v5, x = 2n? ± arccos A,

при ?1 ? v5 ? m ? ?3 и 1 ? m ? ?1 + v5, x = 2n? ± arccos B, где

16.11. Решаем квадратное уравнение относительно lg sin x:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2 а? ? 2 ? 0, т. е. а ? ?1, а ? 1.

Поскольку

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

Когда а ? 1, нужно рассмотреть лишь неравенство

откуда (с учетом ограничения а > 1) получаем а > v2. Если же а ? ?1, то  всегда отрицательное число, а чтобы и число  было неположительно, должно быть еще а ? ?v2.

Ответ. При а ? ?v2

при ?v2 ? а ? ?1 и при а ? v2

при ?1 < а < v2 решений нет.

16.12. Данная система равносильна такой:

Решая входящие сюда два уравнения, получим

Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать

Аналогично убеждаемся, что условие 3x ? 4у ? 15 ? 1 выполняется при n ? ?⁴¹/₁₀, т. е. всегда, ибо n — целое.

Неравенство x + 2y > 0 справедливо при всех n > 1,5, т. е. n ? 2, а условие x + 2y ? 1 выполняется при n ? 1,9, т. е. всегда.

Ответ.

где n = 2, 3, 4, ... .

16.13. Если 4^{cos? ?x} = u, то

4^{sin? ?x} = 4^{1 ? cos? ?x} = ⁴/_u.

Следовательно, левая часть уравнения обращается в ⁴/_u + u, где u > 0. В силу неравенства, связывающего среднее арифметическое чисел u и ⁴/_u со средним геометрическим этих же чисел, имеем

⁴/_u + u ? 4.

Для оценки правой части уравнения выделим полный квадрат:

?8x? + 12|x| ? ? = ?2( 2| x| ? ³/₂)? + 4 ? 4.

Поскольку левая часть уравнения не может стать меньше 4, в то время как правая его часть не может превзойти 4, остается проверить те два значения x = ±?, при которых правая часть достигает своего наибольшего значения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = ±?  — корни данного уравнения.

Ответ. x = ±?.

16.14. Запишем уравнение в виде

или

т. е.

Так как sin ?x ? 1, а

то (1) имеет единственное возможное решение, когда обе части равенства равны 1. Правая часть равна 1 при x = 0,5. Вычислим sin ?x при x = 0,5: sin 0,5? = sin ^?/₂ = 1.

Ответ. 0,5.