Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Запишем данную систему в виде

которую решим относительно f(2x + 1) и g(x ? 1):

В уравнении (1) осуществим замену переменной: x ? 1 = y, т. е. x = y + 1. Тогда

В уравнении (2) сделаем замену: 2x + 1 = z, т. е. x = ^{z ? 1}/₂. Тогда

Теперь мы знаем, что

Подставим эти значения в неравенство

4f(x) + g (x) ? 0,

которое требуется решить по условию задачи. Получим

или после простых преобразований:

x + 1 ? 0, т. е. x ? ?1.

Ответ. x ? ?1.

17.2. Сначала заметим, что

f(x) = x (x? ? 6x + 9) = x (x ? 3)?.     (3)

Теперь подставим в (3) вместо x выражение f (x):

f(f(x)) = f(x)[f(x) ? 3]? = x(x ? 3)?(x? ? 6x? + 9x ? 3)?.    (4)

Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x₁ = 0, x₂ = 3, а также корни уравнения

x? ? 6x? + 9x ? 3 = 0.    (5)

При всех x ? 0 значения (6) отрицательны. При всех x ? 4 значения (6) положительны. Поэтому все корни (6) лежат в интервале (0, 4). Найдем корни производной функции (6):

y? = 3x? ? 12x + 9 = 3 (х? ? 4x + 3) = 3(x ? 1) (x ? 3).

При x = 1 значение y достигает максимума y = 1, а при x = 3 — минимума ?3. Следовательно, функция (6) пересекает по одному разу ось Ox на каждом из интервалов (0, 1), (0, 3), (3, 4), т. е. имеет 3 корня. Таким образом, уравнение (2) имеет 5 различных корней.

Ответ. 5.

17.3. Из второго уравнения находим

5?z = ? + 2?k, k — целое,

т. е.

z = ^{1 + 2k}/₅, k — целое.

Подставим в первое уравнение:

5 · 2^{x? ? 2xy + 1} = (1 + 2k)3^{y? ? 1}. (7)

Если y — целое, то 3^{y? ? 1} — целое при всех y ? 0. Рассмотрим вначале случай y = 0. Тогда уравнение (7) примет вид

5 · 3 · 2^{x? + 1} = 2k + 1,

и целых решений y него нет, поскольку при любых целых x слева — четное число, а справа — нечетное. Итак, y ? 0. Так как множителя 3 в левой части (7) нет, то это уравнение удовлетворяется только при y? = 1. При y = 1 получим

5 · 2^{x? ? 2xy + 1} = 2k + 1, т. е. 5 · 2^{(x ?1)?} = 2k + 1.

Левая часть последнего уравнения будет четным числом при всех целых x ? 1. Правая часть — нечетное число. Поэтому есть единственная возможность x = 1, а k = 2.

Получим решение: x = 1, y = 1, z = 1.

При y = ?1 придем к уравнению

5 · 2^{(x + 1)?} = 2k + 1,

которое удовлетворяется только при x = ?1 и k = 2. Находим еще одно решение системы: x = ?1, y = ?1, z = 1.

Других решений y системы нет.

Ответ. (1, 1, 1), (?1, ?1, 1).

17.4. Неравенство

|x + 2| ? x + 2

имеет решение x ? ?2.

Обозначим

2^{x ? 1} = y, sin ^?x/₂ = z.   (8)

Тогда уравнение, входящее в систему, примет вид

(4у + y + ¹/_y)z + (1 ? 2z?) = 3 + 2y?,

а после простых преобразований

2z? ? (5у + ¹/_y)z + 2(1 + y?) = 0.   (9)

Дискриминант уравнения (9), квадратного относительно z, равен:

D = (5у + ¹/_y)? ? 16(1 + y?) =