Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9у? ? 6 + ¹/_y? = (3у ? ¹/_y)?.

Поэтому решениями уравнения (9) будут:

z₁ = ?[5у + ¹/_y ? (3y ? ¹/_y)] = ?(y + ¹/_y),   (10)

z₂ = ?[5у + ¹/_y + (3у ? ¹/_y)] = 2y.

Из (8) следует, что y > 0. Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, при y > 0 вытекает неравенство: y + ¹/_y ? 2. Однако z = sin ^?x/₂, т. е. | z| ? 1. Но

z₁ = ?(y + ¹/_y).

Поэтому одновременно |z₁| ? 1 и z₁ ? 1, т. е. имеется единственная возможность z₁ = 1, что достигается при y = 1, а следовательно, при x = 1. Подставим значение x = 1 в исходную систему и убедимся, что это ее решение.

Для z₂ получим

sin ^?x/₂ = 2^x, где x ? ?2.    (11)

При x > 0 решений уравнение (11) не имеет, поскольку тогда 2^x > 1, а |sin ^?x/₂| ? 1.

Значение x = 0 тоже решением не является, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Когда ?2 ? x < 0, решений тоже нет, так как при этих x значения 2^x положительны, а значения sin ^?x/₂ ? 0.

Ответ. x = 1.

17.5. Первообразная F(x) для функции f(x) = 6х? + 2x + 6 равна:

F(x) = 2x? + x? + 6х + С,   (12)

где константа С будет определена. Соответственно

f?(x) = 12x + 2.    (13)

В точке касания x₀ > 0,7 должны иметь место следующие соотношения:

т. е. получаем систему

Уравнение (15) после упрощений принимает вид

Из его двух корней x₀ = ? и x₀ = 1 условию (16) удовлетворяет только второй. Подставляем x₀ = 1 в уравнение (14) и находим, что С = 5. Окончательно

F(x) = 2x? + x? + 6х + 5.

Остается сформировать данное в условии задачи неравенство

которое примет вид

Разложим числитель на множители

и воспользуемся методом интервалов (рис. P.17.5). Ограничение x > 0,7 относилось только к расположению точки касания графиков f (x) и F(x). Здесь его учитывать не нужно.

Ответ. x ? (??; ?¹/₆) ? [?; +?).

17.6. По условию разность x ? y такова, что может быть основанием логарифма. Поэтому возможна замена 1 = log_{x ? y} (x ? y), а данное в условии неравенство равносильно такому:

Так как (x ? y) — основание логарифма, то либо 0 < x ? y < 1, либо x ? y > 1. Получим совокупность двух систем, которую затем несколько преобразуем, чтобы удобнее было перейти к графическим изображениям:

Последние два неравенства первой системы можно упростить, поскольку имеет место условие x ? y > 0. Получим

Решение первой системы показано на рис. P.17.6, а, решение второй — на рис. P.17.6, б, а решение совокупности — на рис. P.17.6, в.

Внимание! Интервалы оси абсцисс (0, 1) и (1, +?) принадлежат множеству решений. Остальные точки границы ему не принадлежат.

17.7. Найдем решения неравенства

(x ? |x|)? + (y ? | y|)? ? 4    (17)

для каждого квадранта отдельно.

Пусть одновременно x ? 0, y ? 0. Тогда | x| = x, |y| = y. Неравенство (17) приобретет вид 0 ? 4, т. е. оно удовлетворяется при всех x и y из первого квадранта.

Когда x ? 0, y ? 0, точки (x, y) лежат во втором квадранте и на его границе. Тогда |x| = ?x, |y| = y и неравенство (17) приобретет вид

(2x)? ? 4, т. е. x? ? 1, или ?1 ?