Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

т. е.  — целое число. Тогда

а? ?2a + 1 = п? + 20, т. е. (а ? 1)? ? п? = 20,

или

(а ? n ? 1)(а + n ? 1) = 20.

Остается рассмотреть варианты, когда каждая из скобок равна целочисленным множителям числа 20. Начнем со случая

Сложив эти два уравнения, получим уравнение

2a ? 2 = 21,

не имеющее целочисленных решений.

Можно сделать более общий вывод: если в правой части других пар уравнений типа (20) и (21) есть один нечетный множитель числа 20, то целочисленных решений y системы аналогичной (20), (21) нет. Остается рассмотреть только случаи

Нетрудно убедиться, что первая и вторая системы приводят к одному значению а = 7, а третья и четвертая — к значению а = ?5.

При а = 7 имеем x₁ = 3, x₂ = 7.

При а = ?5 получим x₁ = ?3, x₂ = 1.

Ответ. ?5; 7.

17.11. Обозначим x? = y, где y ? 0. Получим квадратное уравнение

y? ? (1 ? 2a)y + а? ? 1 = 0, (22)

дискриминант которого D = 5 ? 4a.

Если 5 ? 4a < 0, т. е. а > ⁵/₄, решений нет.

Если 5 ? 4a = 0, т. е. а = ⁵/₄, получим уравнение

y? + ³/₂y + ⁹/₁₆ = 0

с единственным корнем y = ??. Однако y ? 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а < ⁵/₄ и D > 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = ?1 получим уравнение

y? ? 3y = 0, т. е. y₁ = 0, y₂ = 3.

Поэтому при а = ?1 исходное уравнение имеет три корня 0; ?v3; v3.

При а = 1 получим

y? + y = 0,   т. е.   y₁ = 0, y₂ = ?1.

Поскольку y ? 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y₁ > 0 и y₂ > 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0 < 5 ? 4a < (1 ? 2a)?

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а < ⁵/₄), т. е.

0 < 5 ? 4a < 1 ? 4a + 4a?.

Правое неравенство дает нам а? > 1. Таким образом, для y₁ > 0 получим

а < ?1, 1 < а < ⁵/₄.

Для y₂ > 0 получим

Если 2a ? 1 < 0, т. е. а < ?, то условие а < ⁵/₄ соблюдается. Поэтому при а < ? получим, что у₂ > 0. Если же 2a ? 1 ? 0, т. е. а > ?, то учтем условие а < ⁵/₄. Возведя неравенство в квадрат, получим а? < 1, т. е. во втором случае (а ? ?) получим ? ? а < 1. Окончательно у₂ > 0 при а < 1.

Объединим решения для y₁ > 0 и у₂ > 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = ⁵/₄ (рис. P.17.11).

Ответ. При а < ?1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = ?1 y него три решения, при ?1 < а < 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 < а < ⁵/₄ два решения, при а ? ⁵/₄ решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y? + (2a ? 1) y + (a ? 2) = 0,   (23)

где

|y| ? 1.   (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a ? 1)? ? 4(a + 3) (a ? 2) = 25 ? 8a ? 0.    (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t₁ или t₂ уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = ²⁵/₈. Тогда