Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = ?³/₇ имеет решение.

Уравнение sin z = ?³/₇ на отрезке [??, ?] имеет ровно два решения z₁ и z₂. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [??, ?] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [?^?/₄, ^?/₄]. Поэтому на отрезке [??, ?] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2?, а sin 4x имеет период ^?/₂). Итак, а = ²⁵/₈ — одно из искомых нами значений параметра а.

Пусть теперь D > 0, т. е. а < ²⁵/₈. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y₁ и y₂, такие, что y₁ < y₂. Если оба значения y₁ и y₂ попадают внутрь интервала (?1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (??, ?) и восемь значений переменной x = ^z/₄ в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (?1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y₁ и y₂ относительно интервала (?1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (?1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола

f(y) = (а + 3) y? + (2a ? 1)y + (а ? 2)    (26)

пересекает интервал (?1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому

f(?1)f(1) < 0,    (27)

т. е. на концах интервала (?1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = ?1 и y = 1. После преобразований получим

а < 0.

При этом условии удовлетворяется и требование D > 0, т. е. требование а < ²⁵/₈. Итак, все значения а ? (??, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = ²⁵/₈. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны ?1 и 1.

Начнем со случая y₁ = ?1, y₂ = 1, т. е. f(?1) = f (1) = 0.

Так как f(?1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(?1) = 0, так как f(?1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид

3y? ? y ? 2 = 0.    (28)

Уравнение (28) имеет два корня:

у₁ = ?? и y₂ = 1.

Первому из них уже будут соответствовать два значения z и восемь значений x на отрезке [??, ?]. Сколько соответствует второму, не существенно. Достаточно, что не меньше одного. Поэтому этот случай не дает новых значений параметра а.

Ответ. а ? (??, 0) ? (²⁵/₈).

17.13. Через точку на плоскости (x; y) с фиксированными координатами x и y проходит кривая семейства тогда и только тогда, когда существует значение параметра а, удовлетворяющее данному уравнению кривых семейства при этих фиксированных x и y.

Другими словами, если мы запишем уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, то оно имеет решение при тех и только тех значениях x и y, при которых через точку плоскости с этими координатами проходит кривая семейства. Поэтому преобразуем исходное уравнение к виду

2a? + 2(x ? 2)а + (x ? 1)? ? y = 0

и потребуем, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен

D = ?х? + 2 + 2y ? 0,

откуда

y ? ^x?/₂ ? 1.

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы через точку (x; y) проходила по крайней мере одна кривая данного семейства.

Таким образом, через все точки (x; y), лежащие вне части плоскости, ограниченной параболой y = ^x?/₂ ? 1 (рис. P.17.13), кривые семейства не проходят. Через остальные точки кривые проходят.

Глава 18 Задачи на составление уравнений

18.1. Пусть x, y, z, u — производительности первой, второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем объем бассейна за единицу. Тогда получим систему уравнений

Вычитая из первого уравнения поочередно второе и третье, найдем соответственно

z = ¹/₁₂, x = ¹/₂₀.

Следовательно, общая производительность первой и третьей труб равна z + x = ²/₁₅.

Ответ. 7,5 ч.

18.2. Пусть плечи весов равны l₁ и l₂ соответственно. Тогда в первый раз продавец отпустил  кг товара, а во второй раз он отпустил  кг. Таким образом, он отпустил покупателю товар массой