Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

где равенство достигается лишь при l₁ = l₂. Таким образом, продавец отпустил больше товара, чем следовало.

18.3. Если все 500 марок расклеить по 20 на один лист, то двух альбомов не хватит для всех марок. Поэтому 2x < 25, т. е. x ? 12 (x ? количество листов в альбоме и, следовательно, целое). Если же 500 марок расклеить по 23 на один лист, то в двух альбомах окажется по крайней мере один свободный лист. Это значит, что 2x ? 1 ? ⁵⁰⁰/₂₃, откуда 2x ? 22, x ? 11. Итак, либо x = 11, либо x = 12.

Если в альбоме 11 листов, то y школьника было 500 ? 21 · 11 = 269 марок, которые нельзя разместить на 10 листах по 23 штуки на каждом. Второе число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 12 листов.

18.4. Поскольку понтоны находились в пути одинаковое время и в одинаковых условиях, то каждый из них проплыл одно и то же расстояние без буксира (см. второе указание на с. 203). Обозначим это расстояние через x. Каждый понтон находился в пути

Буксир в свою очередь, помимо пути в l км вниз по течению, дважды преодолел расстояние l ? 2x км: один раз вниз по течению, другой раз вверх по течению. На весь путь y него ушло

Приравниваем выражения (1) и (2) (буксир был в пути столько же времени, сколько каждый понтон) и решим уравнение.

Получим

Следовательно, второй понтон должен транспортироваться на расстояние в

а на всю перевозку уйдет

Ответ.

18.5. Пусть некто родился в  году, где x ? число десятков, а y — число единиц. В 1901 году ему было 1901 ?  лет.

Если y > 1, то, произведя вычитание, получим число , где 9 ? x и 11 ? y — цифры, образующие это число.

По условию сумма цифр числа  равна сумме цифр числа

1 + 8 + x + y = (9 ? x) + (11 ? y),    т. е. x + y = 5,5,

что невозможно, так как x и y  — целые.

Если y ? 1 (это значит, что либо y = 0, либо y = 1), после вычитания получим число , где 10 ? x и 1 ? y цифры, образующие это число. Когда x ? 0, это число состоит из двух цифр, а когда x = 0 — из трех, причем первые две цифры 1 и 0. Пусть x ? 0. Запишем сумму цифр для этого числа:

1 + 8 + x + y = (10 ? x) + (1 ? y), т. е. x + y = 1.

Так как x ? 0, то y = 0, а x = 1. Это означает, что некто родился в 1810 году.

Пусть теперь  x = 0. Тогда получим уравнение

1 + 8 + y = 1 + (1 ? y),

откуда  y = ?3,5, что невозможно.

Ответ. В 1810 году.

18.6. Пусть одна часть имеет массу x карат, тогда другая — p ? x карат. Цена этих частей равна lх? и l(p ? x)? соответственно, где l — коэффициент пропорциональности. Так как цена целого бриллианта была равна lр?, то получим уравнение

lр? = k[lх? + l(p ? x)?], которое после упрощений примет вид

Проведем исследование.

По смыслу задачи k > 1, p > 0. Следовательно, подкоренное выражение будет неотрицательным, если k ? 2, т. е. 1 < k ? 2.

Так как

(мы знаем, что k > 1), то оба значения x неотрицательны. Легко проверить, что p ? x₁ = x₂.

Ответ.

18.7. Примем расстояние, которое туристам нужно пройти на моторной лодке, за единицу. Через x кг/ч обозначим расход горючего в течение часа работы двигателя в режиме, обеспечивающем собственную скорость лодки v₁, а через y кг/ч — расход горючего при работе двигателя во втором режиме (v₂). Весь путь лодка пройдет за  ч при работе двигателя в первом и во втором режимах соответственно. Так как расход горючего будет одинаковым, то

Если скорость течения реки будет равна ku, то из условия получим второе уравнение

Найдя из первого уравнения x, подставим во второе. Получим

откуда

Так как k > 1, то y > 0 только при v₂ > v₁ и ku < v₁. Общий расход горючего равен

Ответ.

18.8. Обозначим через x, y, z, s и t количество десятков