Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

^{y ? z}/_mx.

Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы может добиться этого, решив уравнения относительно ^z/_x и ^y/_x. После простых преобразований система примет вид

Умножив первое уравнение на ?4 и сложив со вторым, найдем ^z/_x, а умножив его на ?5 и сложив со вторым, найдем ^y/_x:

^y/_x = 25 (t ? t₁) ? 5m (t₂ ? t), ^z/_x = 20(t ? t₁) ? 5m (t₂ ? t).

Остается подставить найденные значения в выражение

(m + 1) ^z/_mx ? ^y/_mx.

Ответ. ⁵/_m [(4m ? 1)(t ? t₁) ? m?(t₂ ? t)].

18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел ^d/_y ч, а самолет — ^d/_x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то

^d/_y = ^d/_x + t.

Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете ^{s ? d}/_y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете ^{s + d}/_x ч. Следовательно,

^{s ? d}/_y = ^{s + d}/_{x + t}.

Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через ^s/_y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + ^2s/_x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина

t + ^2s/_x ? ^s/_y

— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить ¹/_x и ¹/_y. Умножив первое уравнение на d ? s, а второе на d и сложив, найдем

^{(s + d) d}/_x + ^{d (d ? s)}/_x + t(d ? s) + td = 0, т. е.  ^2d?/_x = t(s ? 2d),

откуда

¹/_x =  ^{t (s ? 2d)} /_2d?.

Из первого уравнения определяем ¹/_y:

¹/_y = ¹/_x + ^t/ _d = ^ts/_2d?.

Следовательно,

t + ^2s/_x ? ^s/_y = t + ^{2st(s ? 2d)} /_2d? ? ^ts?/_2d? = t + ^{st(s ? 4d)}/_2d?.

Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина ¹/_x имела смысл, необходимо s > 2d.

По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому

t + ^{st(s ? 4d)}/_2d? > 0,    т. е.    s? ? 4sd + 2d? > 0.

Получаем квадратное неравенство относительно отношения ^s/_d:

(^s/_d)? ? 4^s/_d + 2 > 0,

откуда

^s/_d < 2 ? v2 или  ^s/_d > 2 + v2.