Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

d(q ? p), a_r ? a_q = d(r ? q), a_s ? a_r = d(s ? r).

Кроме того, a_рa_r = a_q?, a_qa_s = a_r?, a_pa_s = a_qa_r, что отражает условие, в силу которого a_р, a_q, a_r и a_s образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем

Составим произведение (p ? q) (r ? s) и воспользуемся второй группой формул:

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

19.3. По условию

a = a₁ + d (m ? 1) = u₁q^{m ? 1}, b = a₁ + d (n ? 1) = u₁q^{n ? 1}, c = a₁ + d (p ? 1) = u₁q^{p ? 1}.

Составим разности:

b ? с = d (n ? p), с ? а = d(p ? m), а ? b = d(m ? n).

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.

19.4. Перейдем в левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^b/_a = ^c/_b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а₁ ? a₃)? = 0, а₁ = а₃. Поскольку , то а₂ = а₁. Таким образом, а₁ = а₂ = а₃. Решим теперь систему уравнений

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = ?2 log₂ y = ? log₂ 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x₁(1 + q) = 3, x₁q?(1 + q) = 12, x₁?q = A, x₁?q⁵ = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q? = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x₁ = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ. А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x₂ = x₁q, x₃ = x₁q?. Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x₁ + x₁q + x₁q? = 7,    x₁?q + x₁?q? + x₁?q? = 14.

Из первого уравнения получим x₁(1 + q + q?) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x₁?q(1 + q + q?) = 7x₁q,

откуда x₁ =