Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

²/_q. Подставим выражение для x₁ в первое уравнение, получим

^{2(1 + q + q?)} /_q = 7,  т. е.  2q? ? 5q + 2 = 0,

откуда

q₁ = ?, q₂ = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x₁. При q = 1 получим, что x₁ = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x₁ = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. v2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = ?3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = ?6, а = 12, что невозможно.

Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = ?1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ. 630; 135; 765.

19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:

100xq? + 10xq  + x ? 594 = 100x + 10xq + xq?, (x + 1) + (xq? + 1) = 2(xq + 2).

Первое уравнение можно переписать в виде

x(q? ? 1) = 6,

а второе — в виде

x(q? ? 2q + 1) = 2,   т. е. x(q ? 1)? = 2.

Деля первое уравнение на второе, получим

^{q + 1}/_{q ? 1} = 3,   q = 2.

Следовательно, x = 2.

Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 ? 594 ? 139 и 964 ? 594 ? 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq? + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.

Ответ. 842.

19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна ¹/_x, то

²⁴/_x n = 1,   т. е. 24n = x.

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п¹/_xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n ? 1 ч, второй n ? 2, а (n ? 1)?й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

^{n ? 1}/_x + ^{n ? 2}/_x + ... + ¹/_x + n¹/_xy = 1,

или

^{n ? 1}/₂n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 ? ^{n ? 1}/₂.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y ? 7)(n ? 5) ¹/_x = 1.

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 ? ^{n ? 1}/₂) (n ? 5) = 242n,

т. е. n? ? 18n ? 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n₁ = 25, n₂ = ?7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a, aq и aq? лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq? p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq? + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему: