Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2x > 0. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде

^|x|/_{1 + 2x} < 1, или | x| < 1 + 2x.

Таким образом, приходим к системе

которая равносильна совокупности двух систем

Ответ. ?? < x < ?.

20.7. Так как k · k! = (k + 1)! ? k!, то

2! ? 1! + 3! ? 2! + 4! ? 3! + ... + (n + 1)! ? n! = (n + 1)! ? 1.

Ответ. (n + 1)! ? 1.

20.8. Домножим S_n на x?:

x?S_n = x? + 4x⁵ + 7x⁷ + ... + (3n ? 2)x^{2n + 1},

и вычтем полученное выражение из S_n:

Ответ.  

20.9. Рассмотрим тождество[22]

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x? + 10x? + 5x + 1.

Положим в нем последовательно x = 1, 2, ..., n и сложим n полученных равенств:

2⁵ + 3⁵ + ... + (n + 1)⁵ = 1 + 2⁵ + 3⁵ + .. + n⁵ + 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) + 10(1? + 2? + ... + n?) + 10(1? + 2? + ... + n?) + 5(1 + 2 + ... + n) + n.

После приведения подобных получим

откуда

Так как

то

Многочлен третьей степени, стоящий в скобках, имеет корень n = ?2 и поэтому делится на 2n + 1.

Ответ. ¹/₃₀ n (n + 1)(2n + 1)(3n? + 3n ? 1).

20.10. В n?й группе содержится n членов.

Пусть n четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до n?й. Это число равно

2 + 4 + 6 + ... + (n ? 2) = ^{n (n ? 2)}/₄.

Следовательно, последнее четное число, встречающееся до n?й группы, равно 2^{n(n ? 2)}/₄ = ^{n(n ? 2)}/₂, а первое четное число, входящее в n?ю группу, равно ^{n (n ? 2)}/₂ + 2. Теперь можно найти сумму n последовательных четных чисел, начинающихся с ^{n(n ? 2)}/₂ + 2. Эта сумма равна

Пусть теперь n четное. Число нечетных членов, встречающихся до n?й группы, равно

1 + 3 + 5 + ... + (n ? 2) = ^{(n ? 1) ?}/₄.

Последним нечетным числом, стоящим до n?й группы, будет ^{(n ? 1)?}/₂ ? 1, а первым числом, входящим в n?ю группу, — число ^{(n ? 1)?}/₂ + 1. Следовательно, сумма n последовательных нечетных чисел, начиная с  ^{(n ? 1)?}/₂ + 1, равна

Ответы можно объединить.

Ответ. ⁿ/₂ [n? + ³/₂ + (?1) ⁿ?].

20.11. Домножим S_n на 2 sin ^?/_2n:

После приведения подобных получим

Так как sin ^?/_2n ? 0 при натуральных n, то S_n = 0.

2 n

Ответ. 0.

20.12. Обозначим искомую сумму через S. Тогда

2S = 1 · 2 + 2 · 2? + 3 · 2? + ... + 100 · 2¹⁰⁰,

2S ? S = 100 · 2¹⁰⁰ ? (1 + 2 + 2? + ... + 2⁹⁹) = 100 · 2¹⁰⁰ ? (2¹⁰⁰ ? 1) = 99 · 2¹⁰⁰ + 1.

20.13. Пусть искомая сумма равна S. Разделим каждый член данного ряда на 2:

? + ³/₈ + ⁵/₁₆ + ⁷/₃₂ + ... = ^S/₂

и вычтем полученный ряд из данного. Получим ряд:

? + ? + ? + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ...,

сумма которого равна ³/₂. Однако, с другой стороны, его сумма есть ни что иное, как S ? ^S/₂ = ^S/₂. Таким образом, ^S/₂ = ³/₂ и, следовательно, S = 3.

Ответ. 3.