Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

l:href='#i_1741.png'/> что равносильно неравенству m? + m ? 4 ? 0. Последнее неравенство справедливо при всех m ? 3.

Остается исследовать

Так как условие n ? 2, из которого следует, что m ? 2, должно выполняться и для k₂, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: m = 2. Однако при m = 2 получим, что k₂ = 2 и n = 2. Это противоречит требованию k ? n ? 1. Таким образом, формула (3) не дает новых значений m, а следовательно, и n.

Ответ. n = m? ? 2, где m = 3, 4, 5, ... .

21.9. Так как

(a + b + c + d)ⁿ = [(a + b) + (c + d)] ⁿ = (a + b) ⁿ + C_n¹ (a + b)^{n ? 1} (c + d) + ... + (c + d)ⁿ,

то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно

(n + 1) · 1 + n · 2 + (n ? 1) · 3 + ... + 2n + 1(n + 1),

где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее k?й член: (n + 2 ? k) = (n + 2)k ? k?. Тогда наша сумма примет вид

Ответ.

21.10. Предположим, что 0 ? k ? n ? 1. Запишем данное выражение в виде

(1 + x + x? + ... + x^{k ? 1} + x^k + x^{k + 1} + ... + x^{n ? 1})?.

Члены, содержащие x^k, могут быть получены только в результате почленного перемножения членов суммы 1 + x + x? + ... + x^{k ? 1} + x^k с членами той же суммы, записанной в обратном порядке, т. е.

1 · х^k, x · х^{k ? 1}, ..., х^{k ? 1} · x, x^k · 1

Так как слагаемых будет k + 1, то и коэффициент при x^k будет равен k + 1.

Предположим теперь, что n ? 1 < k ? 2 (n ? 1). Тогда нужно почленно перемножить суммы

x^{k ? n + 1} + ... + x^{n ? 1}, x^{n ? 1} + ... + x^{k ? n + 1},

в результате чего получим 2n ? k ? 1 членов, содержащих x^k.

Ответ. k + 1, если 0 ? k ? n ? 1;

2n ? k ? 1, если n ? 1 < k ? 2n ? 2.

21.11. Сравним коэффициент члена разложения с номером k + 1 с коэффициентом десятого члена разложения:

Так как знаменатели одинаковы, то

Поскольку десятый член разложения имеет наибольший коэффициент, то он больше девятого и больше одиннадцатого:

Из первого неравенства следует, что

Из второго

Ответ. n = 13.

21.12. Преобразуем выражение, стоящее в левой части, следующим образом:

Вопрос состоит в следующем: если k, m = 1, 2, ..., 20, причем m ? k, то какие значения от 0 до 100 принимает выражение 5k ? 2m.

Если m = 0, 1, 2, 3, 4, то получим соответственно 5k, 5k ? 2, 5k ? 4, 5k ? 6, 5k ? 8. Если бы k не было связано ограничениями, то мы получили бы все числа, так как в эти пять выражений вошли числа, дающие при делении на 5 в остатке 0, 3, 1, 4 и 2 соответственно. Однако k = 0, 1, ..., 20 и, кроме того, k ? m. Так как 5k получено при m = 0, то k может принимать все свои 21 значение, в результате чего получим все числа, кратные 5 от 0 до 100. Рассмотрим теперь числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1. У нас они записаны в виде 5k ? 4 и получились при m = 2, в силу чего k = 2, 3, ..., 20. В результате мы получим 19 чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1. В эту группу не войдет лишь число 1. Числа, дающие в остатке 2, записаны в виде 5k ? 8, где k ? 4. Следовательно, 5k ? 8 = 12, 17, ..., 92, т. е. выпадают числа 2, 7 и 97. Для чисел вида 5k ? 2 переменная k = 1, 2, ..., 20 и 5k ? 2 = 3, 8, ..., 98, куда вошли все числа, дающие в остатке 3. Среди чисел вида 5k ? 6, где k = 3, ..., 20, мы не встретим 4 и 99.

Числа 1, 2, 4, 7, 97 и 99 не могут быть получены из выражения 5k ? 2m и при m > 4. В самом деле, с одной стороны, 5k ? 2m ? 5m ? 2m = 3m > 12, а с другой стороны,

5k ? 2m < 5k ? 8 ? 100 ? 8 = 92,

т. е.