Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Глава 21 Соединения и бином

21.1. Присвоим каждому из сидящих за круглым столом номер: а₁, а₂, ..., а_n. Образовывая циклические перестановки: а_n, а₁, а₂, ..., а_{n ? 1}; а_{п ? 1}, а_n, а₁, а₂, ..., а_{п ? 2} и т. д., мы будем получать тот же способ размещения за столом. Таких циклических перестановок можно составить n.

Кроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед справа неразличимы, т. е. перестановки а₁, а₂, ..., а_п и а₁, а_n, а_{n ? 1}, ..., а₂ дают одно и то же размещение за столом. Так как всего возможно n! перестановок, из которых каждые 2n одинаковы, то искомое число равно

^n!/_2n = ? (n ? 1)!.

Ответ. ?(n ? 1)!.

21.2. Всего из пяти элементов можно составить Р₅ перестановок. Среди них будет Р₄, y которых на первом месте а₁, и Р₄, y которых на первом месте а₂. Однако перестановки, y которых на первом месте а₁, а на втором месте а₂, попали и в первую, и во вторую группы. Таких перестановок Р₃.

Поэтому искомое число перестановок равно

Р₅ ? (2P₄ ? Р₃) = 78.

Ответ. 78.

21.3. Из семи разрядов три должны быть заняты двойками, что дает  вариантов. На каждое из оставшихся мест можно поместить любую из восьми цифр, благодаря чему каждый из предыдущих вариантов даст еще 8⁴ возможностей.

Ответ.

21.4. Предположим, что в каждое число входят три различные единицы: l₁, l₂, l₃, а остальные цифры 0, 2, 3, 4 и 5 равноправны. Тогда можно получить Р₈ различных чисел. Отсюда нужно исключить Р₇ чисел, начинающихся с нуля.

На самом деле разные единицы неразличимы. Другими словами, вместо одного числа мы получим Р₃ одинаковых чисел, отличающихся лишь взаимными перестановками единиц.

Ответ.

21.5. Предположим, что каюты неравноценны. Это дает в 8! раз больше вариантов, чем в случае равноценных кают, что мы учтем позднее.

В первую каюту можно заселить любых четырех из 32 экскурсантов, что можно сделать  способами, во вторую — любых четырех из 28 оставшихся и т. д. В итоге получим

способов. Это число остается разделить на 8! и произвести упрощения.

Ответ. .

21.6. Рассмотрим k?й член суммы

Данную сумму можно переписать в виде

Ответ. n · 2^{n ? 1}.

21.7. Из разложения

выделим действительную часть и приравняем действительной части комплексного числа (1 + i)ⁿ. В самом деле,

т. е.

где n ? 1 ? 2k ? n.

Последнее ограничение означает, что через 2k обозначено то из чисел n ? 1 и n, которое является четным.

Ответ.

21.8. Условию задачи удовлетворяют такие n, для которых равенство

выполняется хотя бы для одного k. Заметим, что 1 ? k ? n ? 1; n ? 2. Равенство (1) перепишем в виде

что после простых преобразований даст

4k? ? 4nk + п? ? n ? 2 = 0,

откуда

Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать

n + 2 = m?,   т. е.   n = m? ? 2.

Поскольку n ? 2, то т? ? 4 и m ? 2. Тогда

Если взять знак минус, получим

Число, стоящее в числителе, четное при всех m. Значение m = 2 нужно исключить, так как тогда k₁ = 0, что невозможно. Если же m ? 3, то m + 1 ? 4, а m ? 2 ? 1. Следовательно, k₁ ? 2. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: k₁ ? n ? 1, т. е.