Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

12 < 5k ? 2m < 92.

Итак, выпали 6 чисел 1, 2, 4, 7, 97 и 99, т. е. будут отсутствовать члены с показателями 99, 98, 96, 93, 3, 1.

Ответ. 95.

21.13. Пусть Р_n — ответ на вопрос задачи для последовательности, состоящей из n элементов. В первой группе может оказаться либо один элемент (а₁), либо два элемента (а₁, а₂). Разбиений, содержащих в первой группе один элемент (а₁), будет столько, сколько разбиений можно образовать из n ? 1 оставшихся членов последовательности а₂, а₃, ..., а_n, т. е. Р_{n ? 1}. Разбиений же, содержащих в первой группе два элемента, будет Р_{n ? 2}, так как после образования группы (а₁, а₂) останется n ? 2 элементов а₃, ..., а_n.

Итак

Р_n = Р_{n ? 1} + Р_{n ? 2}.

Такая формула называется рекуррентной, потому что, зная Р₁ и Р₂ и применяя ее последовательно, мы получим Р₃, затем Р₄ и т. д. Поскольку Р₁ = 1, а Р₂ = 2, то Р₃ = 3, Р₄ = 5, Р₅ = 8, Р₆ = 13, Р₇ = 21, Р₈ = 34, Р₉ = 55, Р₁₀ = 89.

Ответ. 89.

21.14. Пусть на плоскости проведены m параллельных прямых. Они разобьют ее на m + 1 областей. Если провести еще одну непараллельную прямую, то областей станет 2(m + 1). Предположим, что k непараллельных прямых образуют, пересекаясь с m параллельными прямыми, М_k областей. Если добавить еще одну прямую, пересекающую все имеющиеся, но не проходящую ни через одну из старых точек пересечения, то на этой прямой будет m + k точек пересечения с остальными прямыми, в результате чего образуется m + k + 1 новых областей.

Таким образом,

М_{k + 1} = М_k + m + k + 1.

Так как М_о = m + 1, то

Остается доказать эту формулу методом математической индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые мы оставляем читателю.

Ответ.

Глава 22 Обратные тригонометрические функции

22.1. Введем обозначения:

В этих обозначениях равенство примет вид

2? = ^?/₄ ? ?,

причем правая и левая части лежат в интервале (0, ^?/₂). Возьмем тангенсы от каждой из частей:

Так как тангенс является монотонной функцией в интервале (0, ^?/₂), то равенство доказано.

22.2. Пусть

Так как 0 < ? + ? < ^?/₂ и

Наше выражение принимает теперь вид

^?/₄ + arcsin ^v2/₄.

Поскольку arcsin ^v2/₄ > arcsin ^v2/₂, то

0 < ^?/₄ + ? < ^?/₂,

где ? = arcsin ^v2/₄ и sin ? = ^v2/₄. Найдем

Поскольку мы оказались в интервале монотонности синуса, то остается воспользоваться определением арксинуса.

Ответ. arcsin [^{v7 + 1}/₄].

22.3. Рассмотрим сначала первое и третье слагаемые:

arctg (?2) = ?, tg ? = ?2, ?^?/₂ < ? < 0;

arctg (??) = ?, tg ? = ??, ?^?/₂ < ? < 0.

Таким образом, ?? < ? + ? < 0, что не является областью главных значений какой?нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства ?: 0 < ? + ? + ? < ?. Теперь ? + ? + ? попадет в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем

Следовательно,

? + ? + ? = arcctg (?¹/₇), т. е. ? + ? = ?arcctg ¹/₇.

Наше выражение равно arcsin ? ? arcctg ¹/₇. Пусть

arcsin ? = ?, sin ? = ?, 0 < ? < ^?/₂;

arcctg ¹/₇ = ?, ctg ? = ¹/₇, 0 < ? < ^?/₂.

Так как ?^?/₂ < ? ? ? < ^?/₂, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от ? ? ?:

sin (? ? ?) = sin ? cos ? ? cos ? sin ?.

Так как

cos ? = ^2v2/₃, cos ? = ¹/_5v2, sin ? = ⁷/_5v2,

то

Ответ. arcsin ^{v2 ? 28}/₃₀. 

22.4. Сумма существует при 0 ? x ? 1. Введем