Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

обозначения и используем определение арксинуса:

Так как сумма ? + ? лежит в интервале [0, ?], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между ? + ? и cos (? + ?) при условии, что 0 ? x ? 1. Так как

то ? + ? = ^?/₂.

Ответ. ^?/₂ при 0 ? x ? 1.

22.5. Оценим ? = ?(x? + x ? 3), если 0 ? x ? ^{v3 ? 1}/₂.

Имеем

Следовательно,

где 0 ? ^3?/₂ ? 4? ? ? ? ^?/₂. Окончательно получаем

arccos sin ? = ? ? ^3?/₂ + 4? + ? = ^7?/₂ + ?.

Ответ. ^7?/₂ + ?(x? + x ? 3).

22.6. При 0 ? x ? 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

arcsin x = ?, sin ? = x, 0 ? ? ? ^?/₂;

Нужно доказать, что ? ? ? = ^?/₄, или ? ? ^?/₄ = ?. Так как ?^?/₄ ? ? ? ^?/₄ ? ^?/₄, то ? ? ^?/₄ и ? лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как cos ? ? 0 при 0 ? ? ? ^?/₂).

Итак, доказано, что sin (? ? ^?/₄) = sin ?, откуда следует справедливость нашего равенства.

22.7. Так как x < ?1, то ?1 < ^2x/_{1 + x?} < 0. Введем обозначения

Следовательно,

?^3?/₂ < ? + 2? < ?^?/₂,

т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

После подстановки получим

т. е. ? + 2? = ??.

Ответ. ??.

22.8. Из уравнения следует, что

arcsin x = ^?/₁₂ + ^n?/₃.

Поскольку ?^?/₂ ? arcsin x ? ^?/₂, то возможны лишь три значения n = 0, ?1, 1.

Если n = 0, то arcsin x = ^?/₁₂,

Если n = ?1, то arcsin x = ?^?/₄,

x₂ = sin (?^?/₄) = ?¹/_v2.

Если n = 1, то arcsin x = ^5?/₁₂,

Ответ.

22.9. Если x — корень данного уравнения, то и ?x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x ? 0, то

Перенеся ? в правую часть уравнения, получим ? = ? ? ?, причем 0 ? ? ? ^?/₂ и ?^?/₂ ? ? ? ? ? ^?/₂. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:

sin ? = sin (? ? ?).

Последнее уравнение можно записать в виде

добавив к нему условие |^4x/₅| ? 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x₁ = 0.

Остается  а после возведения в квадрат

Делаем проверку иррационального уравнения.

Ответ. ±1, 0.

22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае

Уравнение примет вид ? + ? = ^?/₃, и обе его части окажутся в интервале (0, ?], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение

cos (? + ?) = cos ^?/₃

равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции ? и ? их выражениями через x, придем к уравнению

После возведения в квадрат получим

4(1 ? 4x?)(1 ? x?) = (4x? + 1)?.

При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из?за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| ?