Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

³/₂x + sin ^x/₃ = 0,

или

sin ? ? sin ? (2x + ?) + sin ^?/₆ cos ¹/₆ (2x + ?) = 0.

Так как ? < 12?, а ?? = ^3?/_4?? и ^?/₆ = ^?/_6??, то одно из чисел ^3?/_4? или ^?/_6? не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin ?? и sin ^?/₆ не равно нулю. Пусть, например, sin ?? ? 0.

Тогда имеем тождество

что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6? и сравнив для этих x левые части. Получим sin ^3?/₄ = 0, что противоречит предположению.

Ответ. 12?.

Глава 24 Наибольшие и наименьшие значения

24.1. Так как sin x ? cos? x ? 1 = sin? x + sin x ? 2 = (sin x + ?)? ? ⁹/₄, то функция достигает своего наименьшего значения при sin x + ? = 0.

Ответ. x = (?1)^{k + 1 ?}/₆ + ?k.

24.2. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов

y = ?[cos ^?/₆ ? cos (4x ? ^?/₆)] = ^v3/₄ ? ?cos (4x ? ^?/₆).

Чтобы функция y достигла своего наибольшего значения, нужно положить cos (4x ? ^?/₆) = ?1, откуда x = ^?/₂₄ + ^?/₄ (2n + 1) = ^?n/₂ + ^7?/₂₄. Наибольшее значение функции равно y_max = ^v3/₄ + ?.

Ответ. При x = ^?n/₂ + ^7?/₂₄ y_max = ^v3/₄ + ?.

24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos? x ? sin? x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.

Ответ. ?.

24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)? + (x ? 2)? ? 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x ? 2 = 0 и x + y + 1 = 0.

Ответ. ?3 при x = 2.

24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.

1. Если x ? ?2, то y = x? ? 1 + x? ? 4 ? x ? 2 ? x ? 1 = 2x? ? 2x ? 8.

Абсцисса вершины параболы y = 2x? ? 2x ? 8 равна x = ?^b/_2a = ?,

т. е. при x ? 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = ?2, y = 4.

2. Если[23] ?2 ? x ? ?1, то легко проверить, что y = 4.

3. Если ?1 ? x ? 1, то y = ?2x? + 2x + 8.

Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = ?1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.

4. Если 1 ? x ? 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.

5. Если x ? 2, то y = 2x? + 2x ? 2.

Абсцисса вершины этой параболы x = ??; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.

Ответ. y_min = 4 при ?2 ? x ? ?1.

24.6. Заменим ^a/_x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ^a/_7x. К функции

x⁷ + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим  Равенство достигается при  

Ответ.

24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x +  sin y) = 4R sin [^{? ? ?}/₂] cos [^{x ?}