y/2].
Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [x ? y/2] = 1, т. е. при x ? y = 0. Так как x + y = ? ? ?, то x = ?/2 ? ?/2. Следовательно,
AB = ВС = 2R sin x = 2R cos ?/2.
Ответ. 2R cos ?/2.
24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна
Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b: 
Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b ? 2vab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.
Ответ. 2.
24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально ?симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально?симметричная ей точка многоугольника.
Обозначим через ? угол AOK. Тогда 
По теореме синусов
Чтобы задача имела решение, должно быть OQ ? OK, т. е. sin (30° + ?) ? sin ?. Так как угол а больше угла BOA, то ? ? 60°. Кроме того, можно считать, что ? ? 90°, т. е. 60° ? ? ? 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие
sin (30° + ?) ? sin ?,
необходимо и достаточно, чтобы 75° ? ? ? 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением ? диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, ? нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. ? = 75°. Тогда 
, а сторона квадрата равна KO v2.
Ответ. 
24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения
равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 ? 4у)? ? 4у (6у ? 2) ? 0, т. е. 8у? + 16у ? 9 ? 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых ?1 ? v34/4 ? y ? ?1 + v34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.
Ответ. v34/4 ? 1.
24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:
аbс = 7,2, аb + ас + bс ? 12, а + b ? 5.
Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ? 5:
аb + ас + bс = аb + с(а + b) ? аb + 5с,
т. е. аb + 5с ? 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ? 5. Поскольку одновременно а + b ? 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.
Ответ. 2, 3, 6/5.
24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:
Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку
|sin (? + x) sin (? ? x)| = ?|cos 2x ? cos 2?|,
то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = ?1, если cos 2? ? 0, 0 < ? ? ?/4, и при cos 2x = 1, если cos 2? < 0, ?/4 < ? < ?/2.
В первом случае x = ?(2k + 1) /2, во втором x = ?k. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < ? ? ?/4 наибольшее значение функции равно 2 tg? ?, а при ?/4 < ? < ?/2 равно 2 ctg? ?.
Ответ. 2 tg? ? при 0 < ? ? ?/4, 2 ctg? ? при ?/4 < ? < ?/2·
24.13. Введем обозначения: arcsin x = ?, arccos x = ?. Поскольку ? + ? = ?/2, то
?? + ?? = (? + ?)? ? 3??(? + ?) = ??/8 ? 3?/2??.
Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения ??. Так как ? ? 0, то наибольшее значение ?? следует искать при ? > 0. В этом случае (? > 0, ? > 0) можно записать, что
?? ? (? + ?/2)? = ??/16.
Наибольшее значение ?? достигается при ? = ? = ?/4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/v2 и равно
