Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

^??/₈ ? ^3??/₃₂ = ^??/₃₂.

Наименьшее значение произведения ??, где ? ? 0, достигается при условии, что ? < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины ? и ? были наибольшими. При x = ?1 будет ? = ?^?/₂, ? = ?. Именно в этой точке произведение ?? достигает минимума, так как ? принимает минимальное, а ? — максимальное из возможных значений. Итак, при x = ?1 исходная функция имеет наибольшее значение

^??/₈ + ^3?/₂ ^?/₂ ? = ^7??/₈.

Ответ. ^??/₃₂, ^7??/₈.

24.14. Сделаем следующие преобразования:

y = 2 sin? x + 2 cos? x + 4(2 cos? x) ? 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) ? 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x ? 3 sin 2x = 6 + 5(⁴/₅ cos 2x ? ³/₅ sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin ? cos 2x ? cos ? sin 2x) = 6 + 5 sin(? ? 2x).

Поскольку min sin (? ? 2x) = ?1, то min y = 6 ? 5 = 1.

Ответ. 1.

24.15. Преобразуем данную систему к виду

или

Введем новые переменные:

^{x + 1}/₅ = s, ^{y + 2}/₅ = t, ^z/₁₂ = v, ^{w ? 1}/₁₂ = u.    (4)

Тогда система примет вид

и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти

min (y + w) = min (5t + 12u ? 1).   (8)

Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:

s = sin ?, t = cos ?; v = sin ?, u = cos ?.

Тогда для левой части (7) получим

sin ? cos ? + sin ? cos ? = sin(? + ?) ? 1.    (9)

Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим

sin (? + ?) = 1, т. е. ? + ? = ^?/₂ + 2?k,    (10)

или

sin ? = cos ?, cos ? = sin ?,    (11)

s = u, t = v.    (12)

Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид

u? + t? = 1.    (13)

Нам нужно найти min (5t + 12u ? 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin ?, t = cos ?. Тогда st ? 12u ? 1 = 13 (⁵/₁₃ ? cos ? ? ¹²/₁₃ sin? ?) ? 1 = 13 cos (? + ?) ? 1, где cos ? = ⁵/₁₃, sin ? = ¹²/₁₃. Поэтому min (5t ? 12u ? 1) = ?14.

Ответ. ?14.

Образцы вариантов экзаменационных билетов

Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 ? 2v3 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м?, а радиус окружности, описанной около основания, ¹⁰/₃ v3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(?2^x + 3^x) (?2^{x ? 1} + 3^x) (?2^x + 3^{x + 1}) (?2^{x ? 2} + 3^x) + 81^x ? 0.

6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.

Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) (МИФИ)

1. Решите уравнение

|?sin x| = 2 cos x.

2. Решите неравенство

(9x? ? 9x + 2) log₂ 3x ? 0.

3. Разность цифр двузначного натурального числа A равна 4, а сумма квадратов цифр этого числа больше произведения его цифр на 37. Найдите число