Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

A.

4. Найдите сумму действительных корней уравнения

x? + 2(с? + 2с) x + 4с? ? 2с? + 40 = 0

и укажите, при каких с ? R эта сумма принимает наибольшее значение.

5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = v105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной ?. Определите площадь основания и объем пирамиды.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

|6 cos x ? 1| = 4 cos 2x + 3.

3. Решите неравенство

log₂ (3x ? 5) + log_? (2x ? 1) < 1.

4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.

5. При а = 1 решите уравнение

(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0

и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; ^5?/₆].

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (МГТУ)

1. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

2. Найдите все корни уравнения

cos 2x + cos 6x = cos 4x,

принадлежащие промежутку [^?/₂; ?].

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство 2^{x + 1} + 3 < 2^{1 ? x}.

5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x?(5 ? x), 0 ? x ? 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?

6. Найдите все значения p, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?

Московский государственный университет им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)

1. Решите уравнение

3^|x| = 5^{x? + 3x}.

2. Решите систему неравенств

3. В треугольнике АВС со стороной AB = v5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2v2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ?АВС + ?ACВ < 90°.

4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ? x ? 2 ее значения вычисляются по правилу f (x) = 1 ? |x ? 1|. Решите уравнение

2 f(x) f (x ? 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.