Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1 в точках с абсциссами х₁ = 1, х₂ = 2.

2. Найдите (в радианах) все решения уравнения

tg? x? + tg? x? + ctg? x? + ctg? x? ? 4 = 0.

3. Найдите наименьшее значение выражения

x? + y? + ²/_{| x|·|y|}.

4. Вычислите, если x < 0:

5. Вектор , коллинеарный вектору {12; ?16; ?15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что  = 100, найдите его первую координату.

6. Решите уравнение

log_{1 + 2x} (6x? + 5x + 1) ? log_{1 + 3x} (4x? + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16^?1/x + 5 · 36^?1/x < 4 · 81^?1/x.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.

,

Примечания

1

Эту задачу нужно решать с особым вниманием.

2

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

3

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

4

Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.

5

Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.

6

Два совпадающих решения считаются за одно.

7

Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.

8

Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.

9

Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

10