Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1.

Уравнение 28х? ? 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни  Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как

Ответ.

22.11. Обозначим

arctg (2 + cos x) = ?, arctg (2 cos? ^x/₂) = ?.

Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos? ^x/₂ > 0, то 0 < ? < ^?/₂ и 0 ? ? < ^?/₂.

Уравнение принимает вид ? ? ? = ^?/₄, причем

?^?/₂ < ? ? ? < ^?/₂ и ?^?/₂ < ^?/₄ < ^?/₂.

Так как (?^?/₂, ^?/₂) — интервал монотонности тангенса, то уравнение ? ? ? = ^?/₄ равносильно уравнению tg (? ? ?) = tg ^?/₄.

Переходя к уравнению

мы можем потерять те корни, для которых tg ? или tg ? не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

tg ? = 2 + cos x, tg ? = 2 cos? ^x/₂,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

2 cos^{4 x}/₂ + cos? ^x/₂ = 0.

Так как уравнение 2 cos? x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.

Ответ. ?(2n + 1).

22.12. Пусть

Так как ?^?/₂ < ? ? ? ? ^?/₂, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

sin (? ? ?) = sin ?

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень x = ?. Делаем проверку и убеждаемся, что x = ? является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ. ?.

22.13. Введем обозначения

Наше уравнение принимает вид ? + ? + ? = ? или ? + ? = ? ? ?. Обе части уравнения лежат в интервале (??, ?). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (??, ?), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство ? + ? = ? ? ? = 0. Если ? + ? = 0, то arctg (1 ? x) = arctg x, откуда 1 ? x = x и x = ?. При x = 1 получим, что ? ? ? = arctg ³/₂ ? arctg ³/₂ = 0. Таким образом, x₁ = ? — корень уравнения. Если ? + ? ? 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

ctg (? + ?) = ctg (? ? ?),

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций ?, ?, ? и ? через x, получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: x₂ = 0, x₃ = ??. Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Ответ. 0, ±?.

Глава 23 Область определения. Периодичность

23.1. С одной стороны, log₃sin x ? 0, так как sin x ? 1, а с другой стороны, log₃sin x ? 0, так как это выражение стоит под знаком квадратного корня. Остается единственная возможность:

log₃sin x = 0, sin x = 1, x = ^{?(4n + 1)}/₂.

Ответ. ^{?(4n + 1)}/₂.

23.2. Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему

которая эквивалентна неравенству

0 < x? ? x ? 1 < 1, или (х? ? x ? 1)(х? ? x ? 2) < 0,

т. е.

(x ? ^{1 ? v5}/₂)(x ? ^{1 + v5}/₂)(x + 1)(x ? 2) < 0.

Ответ. ?1 < x < ^{1 ? v5}/₂; ^{1 + v5}/₂ < x < 2. 

23.3. Данное выражение принимает действительные значения, если x удовлетворяет неравенству

которое равносильно неравенству

Его можно заменить системой

Ответ. ³/₂ < x ? 4.

23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и достаточно, чтобы