Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

?1 ? x? ? Зх + 1 ? 1,

т. е.

(х? ? Зх + 2)(х? ? Зх) ? 0, или x(x ? 1) (x ? 2)(x ? 3) ? 0,

откуда

0 ? x ? 1, 2 ? x ? 3.

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg 2x не существует, т. е. числа x = ^{?(2n + 1)} /₄. Два из этих чисел: x = ^?/₄ и x = ^3?/₄ лежат в найденных интервалах.

Ответ. 0 ? x < ^?/₄, ^?/₄ < x ? 1, 2 < x < ^3?/₄, ^3?/₄ < x ? 3.

23.5. Данное выражение принимает действительные значения, если удовлетворяется система неравенств

Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая внутри параболы y = x?, вне круга x? + y? = 1 и ниже прямой y = 2, причем точки, лежащие на границе и принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область, а точки, лежащие на окружности (кроме точек А и С — рис. P.23.5), входят в область определения.

23.6. Способ 1. Пусть Т — период функции. Тогда

cos (x + Т)? = cos x?

при всех x. Если x = 0, то получим cos Т? = 1, откуда Т? = 2n?. Если x = Тv2 , то cos (v2 + 1)?Т? = cos 2Т?, откуда или

(v2 + 1)?Т? + 2Т? = 2k?, или (v2 + 1)?Т? ? 2Т? = 2m?,

т. е.

либо (2 + 2v2)Т? = 2k?, либо (1 + 2v2) Т? = 2m?.

Подставляя в оба выражения Т? = 2n?, получим соответственно

5 + 2v2 = ^k/_n или 1 + 2v2 = ^m/_n,

что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа — рациональные.

Способ 2. Найдем корни функции cos x?:

Рассмотрим положительные корни

Предположим, что Т > 0 — период функции. Тогда, если при x = х₁ функция равна нулю, то и при x = x₁ + Т она тоже равна нулю. Другими словами, х₁ + Т = x_m. Аналогично x₂ + Т = х_k. Вычитая одно равенство из другого, получим

т. е.

Возведем в квадрат:

После вторичного возведения в квадрат получим

Это равенство возможно лишь при , так как все остальные его элементы — целые. Однако числа k и m выбраны так, что k ? 3 и m ? 2, т. е. k + m > 3.

23.7. Если f(x) — периодическая функция с периодом Т, то при всех x должно выполняться тождество

sin (x + Т) + cos [а (x + Т)] = sin x + cos аx.

Положив в этом тождестве x = 0, x = ?Т и x = Т, получим

Из первого и второго равенств найдем cos aT = 1 и T = ^2n?/_a. Подставим найденное значение Т в последнее уравнение:

sin ^4n?/_a + cos 4n? = sin ^2n?/_a + cos 2n?,

т. е.

sin ^4n?/_a = sin ^2n?/_a,

откуда или ^4n?/_a ? ^2n?/_a = 2k?, или ^4n?/_a + ^2n?/_a = (2k + 1)?, т. e. или а = ⁿ/_k, или a = ⁶ⁿ/_{2k + 1}. И в том и в другом случае а — рациональное число.

23.8. Период функции cos ^3x/₂ равен Т₁ = 2? : ³/₂ = ^4?/₃, период функции sin ^x/₃ равен 6?.

Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12?. Очевидно, что 12? — период данной функции. Докажем, что это — основной период.

Пусть существует период ? такой, что 0 < ? < 12?. Тогда имеем тождество

cos ³/₂(x + ?) ? sin ^{x + ?}/₃ ? cos