Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

при d₁ ? d₂, либо d₁ = d₂m при d₂ ? d₁ (m — натуральное число). Пусть, например, d₁ ? d₂. Тогда d₁ — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d₁ — разность этой прогрессии. Однако число d₂, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d₂ = 0 + d₁m = d₁m. Обратно, если d₂ = d₁m и d₁ ? d₂, то x_n = d₂n = d₁mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d₂ ? d₁.

Итак, для d₁ ? d₂ имеем

Так как m — натуральное, то 4m ? 1 > 0. В свою очередь а > 0, а потому 11 ? 3m > 0 и m < ¹¹/₃. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Для d₂ ? d₁ получим

При натуральном m разность 11m ? 3 положительна, а так как а > 0, то 4 ? m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = ³/₈, ²/₁₉, ¹/₃₀.

Ответ. ¹/₃₀, ²/₁₉, ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Глава 20 Суммирование

20.1. Докажем, что

S = ? + ... + ¹/_n? < 1.

Так как

¹/_{(1 + k)?} < ¹/_{k(1 + k)},

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

¹/_{(n ? 1)n} = ¹/_{n ? 1} ? ¹/_n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ. ^{n ? 1}/_d?n.

20.3. Представим k?e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.

20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде

воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку а ? 1)

Правая часть может быть записана так:

Итак,

По условию а ? 0, 1, ?1. Это позволяет найти нужную нам зависимость.

Ответ. n + 1 = 2^{k + 1}.

20.5. Расположим коэффициенты данного многочлена слева направо и разместим под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке,

Теперь можно выписать коэффициент при xⁿ, составив сумму попарных произведений расположенных один под другим множителей:

1 · n + 1(n ? 1) + 2(n ? 2) + 3(n ? 3) + ... + (n ? 1)1 + n · 1.

Эту сумму можно преобразовать так:

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать:

Таким образом, искомый коэффициент равен

Ответ.

20.6. Неравенство равносильно системе (в левой его части — абсолютная величина суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем — 2x):

Из второго неравенства следует, что ?1 < 2x < 1, т. е. 1 +